考点10 函数的值域。
一、掌握常见函数的值域及求法。
1. 一次函数的值域。
y=kx+b (k≠0)值域为r
2.反比例函数的值域。
3.二次函数的值域。
4.指数函数。
5.对数函数。
二、值域的求法。
1. 观察法。
例1．求函数的值域。
解：因为，所以，所以函数的值域为。
2.配方法。
例1．求函数（）的值域。
解：， 因为，所以，所以。
所以，即。所以函数（）的值域为。
3.换元法（运用代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，如（、、均为常数，且）的函数常用此法求解。
例1．求函数的值域。
解：令（），则，所以。
因为当，即时，，无最小值。
所以函数的值域为。
4. 分离常数法（分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法）
例1．求函数的值域。
解：因为，所以，所以，所以函数的值域为。
5.单调性法（确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域，形如求函数的值域（时为减函数；时为增函数））
例1．求函数的值域。
解：因为当增大时，随的增大而减少，随的增大而增大，所以函数在定义域上是增函数。
所以，所以函数的值域为。
6.基本不等式法：利用基本不等式： 应用此法注意条件“一正二定三相等”
例1：若函数f(x)的值域为[1/2,3],则函数f(x)=f(x)+的值域为___
7.导数法：
1）求出函数y=f(x)的导函数；
2）在函数定义域内解不等式得函数y=f(x)的单调增区间；解不等式得函数y=f(x)的单调减区间。
例1、 求函数的值域。
函数的定义域由求得，即x≥－2.
当x>－2时，y′>0，即函数，在（－2，＋∞上是增函数，又f(－2)=－1，∴ 所求函数的值域为[－1，＋∞
点评： 1）从本题的解答过程可以看到，当单调区间与函数的值域相同时，才可使用此法，否则会产生错误。
2）求值域时，当x=－2，函数不可导，但函数在[－2，＋∞上是连续的，函数图象是连续变化的，因此在x=－2时，取得最小值。
8.反函数法。
用函数和它的反函数的定义域和值域的关系，可以通过求反函数的定义域而得到原函数的值域。
例如： 9. 数型结合法（函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法）
例7．求函数的值域。
解：，，图像如右图所示，故原函数的值域为。
10. 判别式法将函数转化为x 的二次方程f(x,y)=0, 通过方程有实根，判别式》=0,从而求得函数的值域，形如(a1,a2不同时为0)的函数的值域常用此法求解。（分子，分母没有公因式；此时函数的定义域是全体实数）
例1：;
函数的值域课时作业
一 选择题。1 下列函数中，值域为 0，的是 a y x2 x 1 b y x x 0 c y esinx d y x 1 解析 对于a y x2 x 1 x 2 故a不对 对于b x 0，故y x 2，b不对 对于c 1 sinx 1，esinx e，故c也不对，由幂函数的图象可知答案为d.答案 ...
分式函数求值域
分式型函数求值域的方法 在教学中，笔者常常遇到一类函数求值域问题，此类函数是以分式函数形式出现，有一次式比一次式，二次式比一次式，一次式比二次式，二次式比二次，现在对这类问题进行 一 形如 一次式比一次式 在定义域内求值域。例1 求 的值域。解 其值域为。一般性结论，如果定义域为，则值域。例2 求，...
分式函数值域的求法
分式函数的值域。函数值域是函数三要素之一，求函数值域无定法，且方法灵活，是中学数学的一个难点。今天我们主要讨论分式函数的值域求法。一 若同时为零，则函数就变为形如 不同时为零 的函数，可以用分离常数法或求反函数法来求函数的值域。例 求函数的值域 解法 分离常数法 利用恒等变形可化为 所以，该函数的值...