分式函数的值域。
函数值域是函数三要素之一，求函数值域无定法，且方法灵活，是中学数学的一个难点。今天我们主要讨论分式函数的值域求法。
一、若同时为零，则函数就变为形如（不同时为零）的函数，可以用分离常数法或求反函数法来求函数的值域。
例１ 求函数的值域
解法１：（分离常数法）
利用恒等变形可化为：
所以，该函数的值域为：
解法２：（求反函数法）
函数的反函数为所以原函数值域为（即反函数定义域为原函数值域）。
二、若不同时为零，但分子与分母有公因式子，可先约分再求值域。如果不约分，直接采用下面三的方法，将加大运算量（如例6）。
例２ 求函数的值域。
解：可先将函数变为。
约分后函数变为。
所以 约分后函数的定义域扩大了（严格来说与原函数不是同一个函数，但在不引起混淆的情况下也可直接约分），在１处所对应的函数值，也是不能取到的值，所以函数的值域是。
例３求函数的值域。
解：函数可变形为，所以该函数的值域是。
三、若不同时为零，分子与分母没有公因式子，可以通过判别式法、分离常数法、基本不等式法求函数的值域。
例４ 函数的值域．
解法1：(判别式法)
将转化为关于的一元二次方程（看作参数）：
这是一个必有解的方程。讨论使上方程有解的参数的范围，恰为函数的值域）
若，则矛盾。
由，这时由解得 ；时， 。
综上所述知原函数的值域为．
解法2：(分离常数法)
设，则的值域是。
所以，原函数值域为。
例5：函数的值域
解：（基本不等式法）因为＝
当时，，，当且仅当时等号成立；
当时，，，当且仅当时等号成立。
所以函数的值域为。
例6：求函数的值域。
解：因为分子与分母有公因子，约分后可用上面二介绍的方法来求值域，如果不约分，也可直接用判别式法来求。将转化为关于的一元二次方程；
当时，不在函数定义域内；
当时， 即，当时，，此时不在函数定义域内。
所以函数值域内。
对于形如（）的二次分式函数的求值域问题，只要函数（）的定义域没有额外限制条件，就能够用判别式法求解，但不能用其在指定的区间上求二次函数的值域。同时要注意：1、把分式函数转化为关于的一元二次方程后，要对二次项系数进行讨论。
2、要对时的值代回方程检验。
分式函数值域解法探析
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