函数既是中学数学各骨干知识的交汇点,是数学思想,数学方法应用的载体,是初等数学与高等数学的衔接点,还是中学数学联系实际的切入点,因此函数便理所当然地成为了历年高考的重点与热点,考查函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数以及函数图象。而对函数值域的考查或是单题形式出现,但更多的是以解题的一个环节形式出现,其中求分式函数的值域更是学生失分较大知识点之一。为此,如何提高学生求分式函数值域的能力,是函数教学和复习中较为重要的一环,值得**。
下面就本人对分式函数值域的教学作如下**,不馁之处、敬请同仁指教。
一、相关概念。
函数值是指在函数y=f(x)中,与自变量x的值对应的y值。
函数的值域是函数值的集合,是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合。函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定;当函数由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定。
分式函数是指函数解析式为分式形式的函数。
二、分式函数的类型及值域解法。
类型一:一次分式型。
一次分式型是指分子与分母都是关于自变量x(或参数)的一次函数的分式函数。
型。例1 求函数y=的值域。
解法一:常数分离法。将y=转化为y=(k1,k2为常数),则yk1
解:∵y==,y。
解法二:反函数法。利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系,通过求反函数的定义域,得到原函数的值域。
解:反解y=得x=,对调 y= (x),∴函数y= 的值域为y。
型。分析:这是一道含三角函数的一次分式函数,由于含三角函数,不易直接解出x,但其有一个特点:
只出现一种三角函数名。可以考虑借助三角函数值域解题,其实质跟y=(t=sinx)在t的指定区间上求值域类似。
即:将y=反解得sinx=f(y),而-1≤sinx≤1,即-1≤f(y)≤1,解之即可。
例2 求函数y=的值域。
解:由y=得,sinx=,∵1≤sinx≤1,∴-1≤≤1,解之得≤y≤3。
或y=(a0)型。
分析:这道题不仅含有三角函数,且三角函数不同,例2解法行不通,但反解之后会出现正、余弦的和、差形式,故可考虑用叠加法。
即:去分母以后,利用叠加公式和|sinx|≤1解题。
例3 求函数y=的值域。
解:∵2cosx+100,∴3sinx-2ycosx=10y+3。
∴,其中,由和得,∴,整理得8y2+5y≤0。
∴≤y≤0即原函数的值域为[,0]。
总结:求一次分式函数的值域,首先要看清楚是在整个定义域内,还是在指定区间上;其次用反函数法解题;再次还要注意含三角函数的分式函数,其实质是在指定区间上求分式函数的值域。
类型二:二次分式型。
二次分式型是指分子与分母的最高次项至少有一项是关于x的二次函数。由于出现了x2项,直接反解x的方法行不通。但我们知道,不等式、函数、方程三者相互联系,可以相互转化。
所以可考虑将其转化为不等式或方程来解题。
.y=(a、d不同时为0),x∈r型。
分析:去分母后,可将方程看作是含参数y的二次方程f(x)=0。由于函数的定义域并非空集,所以方程一定有解,≥0(f(y)≥0),解该不等式便可求出原函数的值域。
即:用判别式法。先去分母,得到含参数y的二次方程f(x)=0,根据判别式≥0(=f(y)),即可求出值域。
例4 求函数y=的值域。
解:由y=得yx2-3x+4y=0。
当y=0时,x=0,当y≠0时,由△≥0得-≤y≤。
函数定义域为r,函数y=的值域为[-,
说明:判别式法求二次函数的值域只适用于在整个定义域内,但不能用其在指定的区间上求二次函数的值域,否则就会放大值域。
不同时为0),指定的区间上求值域型。
例5 求(x<)的值域。
分析:因为x<,所以若用判别式法,可能会放大其值域。可以考虑使用均值定理解题。
解:∵x< ,5-4x>0,>0。
1-4x+[(5-4x)+ 4
-2,∴原函数的值域为。
例6 求的值域。
错解:=≥2。
分析:在使用均值定理时一定要注意使用条件“一定、二正、三相等”,显然上述解法中和不能相等,“相等”条件不能成立。所以不能使用均值定理。
但若用判别式法又无法解决根式问题,此时可考虑借函数的单调性求值域。
解:用单调性法,令=t,显然t≥2,则y=t+ (t≥2),任取2≤t1≤t2,则f(t1)=t1+, f(t2)= t2+,f(t1)- f(t2)=(t1+)-t2+)=t1- t2)( 1-),2≤t1≤t2 ∴t1- t2<0, t1· t2≥4, 1->0,f(t1)- f(t2)=(t1- t2)( 1-)<0 。
f(t1)< f(t2),即函数y=t+在t≥2上单调递增。
当t=2、即=2、x=0时,ymin=,原函数的值域为。
总结:不管是求一次分式函数,还是求二次分式函数的值域,都必须注意自变量的取值范围。虽然我们提倡通解通法的培养,但一定要看到只有对一类题才可以用通解通法。
若失去同一类前提,只强调通解通法,便是空中楼阁。 故要因题而论,就事论事,防止一概而论的错误,用辩证和发展的眼光看待问题,这样才会起到事半功倍的效果。
三、提炼知识,总结分式函数值域解法。
求函数的值域是高中数学的难点之一,它没有固定的方法和模式。但我们可以针对不同的题型进行归类总结,尽最大可能地寻找不同类型分式函数求值域的通解通法。常用的方法有:
1.反函数法。反函数法是求一次分式函数的基本方法,是利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系,通过求反函数的定义域,得到原函数的值域。
但要注意看清楚是在整个定义域内,还是在指定区间上求值域。
2.判别式法。判别式法是求二次分式函数的基本方法之一,即先去分母,把函数转化成关于x的二次方程f(x,y)=0,因为方程有实根,所以判别式△≥0,通过解不等式求得原函数的值域。
需注意的是判别式法求二次函数的值域只适用于在整个定义域内。
3.不等式法。不等式法是利用基本不等式:
a+b≥2 (a、b∈r+),是在指定区间上求二次分式函数的基本方法之一,当二次分式函数在指定区间上求值域时可考虑用不等式法。用不等式法求值域,要注意均值不等式的使用条件:“一正、二定、三相等”。
4.换元法。换元法是求复合型分式函数值域的常用方法。
当分式函数的分子或分母出现子函数(如三角函数)时,可考虑用换元法,将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域。要注意换元后自变量的取值范围。
5.单调性法。单调性法是通过确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性求出函数的值域的方法。
另外,还可以根据函数的特点,利用数形结合或求导数的方法求分式函数的值域。由于这些方法不是很常用,在此就不多做说明。
分式函数值域解法探析
甘肃省定西工贸中专文峰分校张占荣。函数既是中学数学各骨干知识的交汇点,是数学思想,数学方法应用的载体,是初等数学与高等数学的衔接点,还是中学数学联系实际的切入点,因此函数便理所当然地成为了历年高考的重点与热点,考查函数的定义域 值域 单调性 奇偶性 反函数以及函数图象。而对函数值域的考查或是单题形式...
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