一、直接观察法。
例题】求函数的值域。
练习】求函数的值域。
二、配方法适用于二次函数。
例题】求函数（）的值域。
解函数（）的值域为。
练习】求函数的值域。
三、换元法适用于型函数。
例题】求函数的值域。
解：令（），则，当，即时，，无最小值。
函数的值域为。
四、分离常数法适用于型函数。
分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法。在定义域内，值域为；如果是条件定义域，采用部分分式法将原函数化为用复合函数法来求值域。（此类问题一般也可以利用反函数法）
例题】求函数的值域。
解：∵，函数的值域为。
五、函数判别式法适用于（、不同时为零）型函数。
把函数转化成关于的二次方程，通过方程有实数根，判别式，从而求得原函数的值域。
例题】求函数的值域。
解：由变形得，当时，此方程无解；
当时，∵，解得，又，∴
函数的值域为。
六、有界性法适用于、、型函数。
利用子函数的有界性导出母函数的值域。
例1】求函数的值域。
解：函数的定义域为，变形可得函数的值域为。
例2】求函数的值域。
解：由得 练1】求函数的值域。
练2】求函数的值域。
七、单调性法。
根据函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。
例1】求函数的值域。
解：∵当增大时，随的增大而减少，随的增大而增大，函数在定义域上是增函数。∴，函数的值域为。
例2】求函数在区间上的值域。
解：任取，且，则，因为，所以：，当时，，则；当时，，则；而当时，，于是，函数在区间上的值域为。
例3】求函数的值域。（构造相关函数，利用函数的单调性求值域）
解：因为，而与在定义域内的单调性不一致。现构造相关函数，易知在定义域内单调递增。，，又，所以：，。
八、数型结合法。
函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。
例1：求函数的值域。
解：∵ 由图像知：函数的值域为。
例2】求函数的值域。
解：原函数变形为。
作一个长为4、宽为3的矩形abcd，再切割成12个单位。
正方形。设hk=,则ek=2,kf=2,ak=,kc= 。由三角形三边关系知，ak+kc≥ac=5。当a、k、c三点共。
线时取等号。∴原函数的值域为｛y|y≥5｝。
例3】求函数的值域。
解：令，，则，原问题转化为 ：当直线与圆在直角坐标系的第一象限有公共点时，求直线的截距的取值范围。由图1知：当经过点时，；当直线与圆相切时，。所以：值域为。
例4】求函数的值域。
解：将函数变形为：
上式可看成点p（x，0）到定点a（3，2）的距离与点p（x，0）到定点b（-2，1）的距离之差。即：
由图可知：（1）当点p在x轴上且不是直线ab与x轴的交点时，如点，则构成，根据三角形两边之差小于第三边，有。
即： 2）当点p恰好为直线ab与x轴的交点时，有。
综上所述，可知函数的值域为：
九、不等式法。
利用基本不等式和是求函数值域的常用技巧之一， 其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧，原则是要使最终的乘积结果中不含自变量， 同时， 利用此法时应注意取成立的条件。
例1】求函数的值域。
解：,当且仅当时成立。 故函数的值域为。
此法可以灵活运用， 对于分母为一次多项式的二次分式， 当然可以运用判别式法求得其值域， 但是若能变通地运用此法， 可以省去判别式法中解二次不等式的过程。 ）
例2】求函数的值域。
解： )当时， ,此时， 等号成立， 当且仅当。
)当时， ,此时有。
等号成立， 当且仅当。
综上， 原函数的值域为：.
例3】 求函数的值域。
解： 当且仅当即当时，等号成立故原函数的值域为：
例4】求函数的值域。
解： 当且仅当，即当时，等号成立。由可得：故原函数的值域为：
十、导数法
若函数在内可导， 可以利用导数求得在内的极值， 然后再计算在，点的极限值。 从而求得的值域。
例1】求函数在内的值域。
分析：显然在可导，且。 由得的极值点为。 .所以， 函数的值域为。
十。一、平方开方法。
1.适合采用“平方开方法”的函数特征。
设（）是待求值域的函数，若它能采用“平方开方法”，则它通常具有如下三个特征：
1）的值总是非负，即对于任意的，恒成立；
2）具有两个函数加和的形式，即（）；
3）的平方可以写成一个常数与一个新函数加和的形式，即，为常数），其中，新函数（）的值域比较容易求得。
2.“平方开方法”的运算步骤。
若函数（）具备了上述的三个特征，则可以将先平方、再开方，从而得到（，为常数）.然后，利用的值域便可轻易地求出的值域。例如，则显然。
3.应用“平方开方法”四例。
能够应用“平方开方法”求值域的函数不胜枚举，这里仅以其中四道典型的例题来演示此法在解决具体问题时的技巧。
例1】求函数（，）的值域。
解：首先，当时，；
其次，是函数与的和；
最后， 可见，函数满足了采用“平方开方法”的三个特征。于是，对平方、开方得（）.这里，（）对根号下面的二次函数采用“配方法”，即可求得的值域为。于是，的值域为。
例2】求函数（，，的值域。
解：显然，该题就是例1的推广，且此题的也满足了采用“平方开方法”的三个特征。于是，对平方、开方得（）.
这里，（）对根号下面的二次函数采用“配方法”，即可求得的值域仍为。于是，的值域也仍为。
例3】求函数（）的值域。
解：参照例1的验证步骤，显然，此题的也满足了采用“平方开方法”的三个特征。于是，对平方、开方得（）.这里，（）易知，的值域为。于是，的值域为。
例4】求函数（）的值域。
解：参照例1的验证步骤，显然，此题的也满足了采用“平方开方法”的三个特征。于是，对平方、开方得（）.这里，（）易知，的值域为。于是，的值域为。
例5】求函数的值域。
解：（平方法）函数定义域为：
平方法）函数定义域为：
十。二、反函数法。
利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。
例1】求函数的值域。
解：由解得，∵，函数的值域为。
十。三、多种方法综合运用。
例1】求函数的值域。
解：令，则。
1）当时，，当且仅当t=1，即时取等号，所以。
2）当t=0时，y=0。
综上所述，函数的值域为：
注：先换元，后用不等式法。
例2】求函数的值域。
解：令，则。
当时，当时，此时都存在，故函数的值域为。
例3】求函数的值域。
解：（图象法）如图，值域为。
例4】求函数的值域。
解：（复合函数法）令，则由指数函数的单调性知，原函数的值域为。
例5】求函数的值域。
解：（三角代换法设。
小结：（1）若题目中含有，则可设。
（2）若题目中含有。
则可设，其中。
3）若题目中含有，则可设，其中。
4）若题目中含有，则可设，其中。
5）若题目中含有，则可设。
其中。例6】求函数的值域。
解法一：（逆求法）
解法二：（复合函数法）设，则
解法三：（判别式法）原函数可化为
1） 时不成立。
2） 时，
综合）值域。
解法四：（三角代换法）设，则。
原函数的值域为。
小结：已知分式函数，如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域；如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为。
的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求出函数的最大最小值；如果不满足用基本不等式的条件，转化为利用函数的单调性去解。
注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用的有界性。
总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
分式函数值域的求法
分式函数的值域。函数值域是函数三要素之一，求函数值域无定法，且方法灵活，是中学数学的一个难点。今天我们主要讨论分式函数的值域求法。一 若同时为零，则函数就变为形如 不同时为零 的函数，可以用分离常数法或求反函数法来求函数的值域。例 求函数的值域 解法 分离常数法 利用恒等变形可化为 所以，该函数的值...
函数2 函数性质
函数2.函数的性质。知识概要。1.单调性 1 增函数，减函数，单调区间的定义 2 复合函数y f g x 的单调性，取决于g x 与f u 的单调性 同增异减 3 若函数y f x 在定义域a上增 减 值域是b，则它必有反函数y f 1 x 且在定义域b上增 减 且值域为a。2.奇偶性 1 f x ...
函数2 性质
例 下列各组中的两个函数是否为同一个函数？为什么？与 与 与 例 求下列函数的定义域 3 f x 变题1 函数的定义域为，那么的值为 变题2 已知函数的定义域为，则的取值范围是。变题3 已知函数的定义域为，则的取值范围是。例3 在同一直角坐标系中作出函数的图象，并指出它们之间的相互联系。归纳 1 函...