函数性质2 值域求法

发布 2022-09-22 23:13:28 阅读 9719

一、直接观察法。

例题】求函数的值域。

练习】求函数的值域。

二、配方法适用于二次函数。

例题】求函数()的值域。

解函数()的值域为。

练习】求函数的值域。

三、换元法适用于型函数。

例题】求函数的值域。

解:令(),则,当,即时,,无最小值。

函数的值域为。

四、分离常数法适用于型函数。

分子、分母是一次函数的有理函数,可用分离常数法。在定义域内,值域为;如果是条件定义域,采用部分分式法将原函数化为用复合函数法来求值域。(此类问题一般也可以利用反函数法)

例题】求函数的值域。

解:∵,函数的值域为。

五、函数判别式法适用于(、不同时为零)型函数。

把函数转化成关于的二次方程,通过方程有实数根,判别式,从而求得原函数的值域。

例题】求函数的值域。

解:由变形得,当时,此方程无解;

当时,∵,解得,又,∴

函数的值域为。

六、有界性法适用于、、型函数。

利用子函数的有界性导出母函数的值域。

例1】求函数的值域。

解:函数的定义域为,变形可得函数的值域为。

例2】求函数的值域。

解:由得 练1】求函数的值域。

练2】求函数的值域。

七、单调性法。

根据函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性,求出函数的值域。

例1】求函数的值域。

解:∵当增大时,随的增大而减少,随的增大而增大,函数在定义域上是增函数。∴,函数的值域为。

例2】求函数在区间上的值域。

解:任取,且,则,因为,所以:,当时,,则;当时,,则;而当时,,于是,函数在区间上的值域为。

例3】求函数的值域。(构造相关函数,利用函数的单调性求值域)

解:因为,而与在定义域内的单调性不一致。现构造相关函数,易知在定义域内单调递增。,,又,所以:,。

八、数型结合法。

函数图像是掌握函数的重要手段,利用数形结合的方法,根据函数图像求得函数值域,是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义(如两点间距离,直线的斜率、截距等)或当一个函数的图象易于作出时,借助几何图形的直观性可求出其值域。

例1:求函数的值域。

解:∵ 由图像知:函数的值域为。

例2】求函数的值域。

解:原函数变形为。

作一个长为4、宽为3的矩形abcd,再切割成12个单位。

正方形。设hk=,则ek=2,kf=2,ak=,kc= 。由三角形三边关系知,ak+kc≥ac=5。当a、k、c三点共。

线时取等号。∴原函数的值域为{y|y≥5}。

例3】求函数的值域。

解:令,,则,原问题转化为 :当直线与圆在直角坐标系的第一象限有公共点时,求直线的截距的取值范围。由图1知:当经过点时,;当直线与圆相切时,。所以:值域为。

例4】求函数的值域。

解:将函数变形为:

上式可看成点p(x,0)到定点a(3,2)的距离与点p(x,0)到定点b(-2,1)的距离之差。即:

由图可知:(1)当点p在x轴上且不是直线ab与x轴的交点时,如点,则构成,根据三角形两边之差小于第三边,有。

即: 2)当点p恰好为直线ab与x轴的交点时,有。

综上所述,可知函数的值域为:

九、不等式法。

利用基本不等式和是求函数值域的常用技巧之一, 其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧,原则是要使最终的乘积结果中不含自变量, 同时, 利用此法时应注意取成立的条件。

例1】求函数的值域。

解:,当且仅当时成立。 故函数的值域为。

此法可以灵活运用, 对于分母为一次多项式的二次分式, 当然可以运用判别式法求得其值域, 但是若能变通地运用此法, 可以省去判别式法中解二次不等式的过程。 )

例2】求函数的值域。

解: )当时, ,此时, 等号成立, 当且仅当。

)当时, ,此时有。

等号成立, 当且仅当。

综上, 原函数的值域为:.

例3】 求函数的值域。

解: 当且仅当即当时,等号成立故原函数的值域为:

例4】求函数的值域。

解: 当且仅当,即当时,等号成立。由可得:故原函数的值域为:

十、导数法

若函数在内可导, 可以利用导数求得在内的极值, 然后再计算在,点的极限值。 从而求得的值域。

例1】求函数在内的值域。

分析:显然在可导,且。 由得的极值点为。 .所以, 函数的值域为。

十。一、平方开方法。

1.适合采用“平方开方法”的函数特征。

设()是待求值域的函数,若它能采用“平方开方法”,则它通常具有如下三个特征:

1)的值总是非负,即对于任意的,恒成立;

2)具有两个函数加和的形式,即();

3)的平方可以写成一个常数与一个新函数加和的形式,即,为常数),其中,新函数()的值域比较容易求得。

2.“平方开方法”的运算步骤。

若函数()具备了上述的三个特征,则可以将先平方、再开方,从而得到(,为常数).然后,利用的值域便可轻易地求出的值域。例如,则显然。

3.应用“平方开方法”四例。

能够应用“平方开方法”求值域的函数不胜枚举,这里仅以其中四道典型的例题来演示此法在解决具体问题时的技巧。

例1】求函数(,)的值域。

解:首先,当时,;

其次,是函数与的和;

最后, 可见,函数满足了采用“平方开方法”的三个特征。于是,对平方、开方得().这里,()对根号下面的二次函数采用“配方法”,即可求得的值域为。于是,的值域为。

例2】求函数(,,的值域。

解:显然,该题就是例1的推广,且此题的也满足了采用“平方开方法”的三个特征。于是,对平方、开方得().

这里,()对根号下面的二次函数采用“配方法”,即可求得的值域仍为。于是,的值域也仍为。

例3】求函数()的值域。

解:参照例1的验证步骤,显然,此题的也满足了采用“平方开方法”的三个特征。于是,对平方、开方得().这里,()易知,的值域为。于是,的值域为。

例4】求函数()的值域。

解:参照例1的验证步骤,显然,此题的也满足了采用“平方开方法”的三个特征。于是,对平方、开方得().这里,()易知,的值域为。于是,的值域为。

例5】求函数的值域。

解:(平方法)函数定义域为:

平方法)函数定义域为:

十。二、反函数法。

利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系,通过求反函数的定义域,得到原函数的值域。

例1】求函数的值域。

解:由解得,∵,函数的值域为。

十。三、多种方法综合运用。

例1】求函数的值域。

解:令,则。

1)当时,,当且仅当t=1,即时取等号,所以。

2)当t=0时,y=0。

综上所述,函数的值域为:

注:先换元,后用不等式法。

例2】求函数的值域。

解:令,则。

当时,当时,此时都存在,故函数的值域为。

例3】求函数的值域。

解:(图象法)如图,值域为。

例4】求函数的值域。

解:(复合函数法)令,则由指数函数的单调性知,原函数的值域为。

例5】求函数的值域。

解:(三角代换法设。

小结:(1)若题目中含有,则可设。

(2)若题目中含有。

则可设,其中。

3)若题目中含有,则可设,其中。

4)若题目中含有,则可设,其中。

5)若题目中含有,则可设。

其中。例6】求函数的值域。

解法一:(逆求法)

解法二:(复合函数法)设,则

解法三:(判别式法)原函数可化为

1) 时不成立。

2) 时,

综合)值域。

解法四:(三角代换法)设,则。

原函数的值域为。

小结:已知分式函数,如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域;如果是条件定义域,用判别式法求出的值域要注意取舍,或者可以化为。

的形式,采用部分分式法,进而用基本不等式法求出函数的最大最小值;如果不满足用基本不等式的条件,转化为利用函数的单调性去解。

注:此题先用换元法,后用配方法,然后再运用的有界性。

总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。

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