函数2.函数的性质。
知识概要。1. 单调性：
1).增函数，减函数，单调区间的定义；
2).复合函数y=f(g(x))的单调性，取决于g(x)与f(u) 的单调性——“同增异减”；
3).若函数y=f(x)在定义域a上增（减），值域是b，则它必有反函数y=f-1(x),且在定义域b上增（减）,且值域为a。
2. 奇偶性：
1） f(x)对于定义域内的任意x都有f(-x)=-f(x)，[f(-x)=f(x)]恒成立，则f(x)是奇函数（偶函数）。
2） 奇（偶）函数的图像关于原点（y轴）对称；
3） 任意函数y=f(x)，只要定义域关于原点对称，都可以表示为一个奇函数y=与一个偶函数y=的和。
3. 周期性。
1）对于函数f(x)，如果存在一个非零常数t，使得定义域中的任意x，f(x+t)=f(x)都成立，则称f(x)为周期函数，t为周期。
（2）若t是周期，则k·t（k≠0,k∈z）都是周期，其中最小正数叫最小正周期。
3）若函数f(x)有两条对称轴x=a和x=b，（a 若函数f(x)有两个对称中心（a，0），（b，0）（a若函数f（x）有一条对称轴x=a和一个对称中心（b，0）（a4，反函数。对于函数y=f(x),定义域是a，值域是c，若对于c中任意的y，在a中都有唯一确定的x=f-1(y)和它对应，则y=f（x）有反函数y=f-1(x),(x∈c) .
f-1(f(x))=x,(x∈a), f(f-1(x))=x,(x∈c).
5.函数、方程及不等式的联系，可借助于图形分析、理解、记忆。
二．基本思想方法。
1. 化归法。
对一些生疏的、复杂的问题，通过寻找它们与基本的、简单的问题的联系，“化生为熟、化繁为简“，进而解决问题。在转化的过程中有时等价，有时不等价，应予注意。
．换元法。在解方程的过程中，将自变量或某个式子用一个新的变量代换，得到一个新的函数方程，进而找出规律解决问题，注意新变量的取值范围。
例题研究。例1． 设x，y是实数，且满足。
求x＋y的值。
分析：x－１，y是方程t３＋１t＋１＝的根，又f（t）＝t３＋１t＋１是增函数，故x－１＝y，x＋y＝２.
例6.函数f（x）定义在实数集上，且对一切实数x满足f(2+x)=f(2-x)和f(7+x)=f(7-x)，设x=0是f(x)=0的一个根，记f(x)=0在区间[-1000，1000]上根的个数为n，求n的最小值。
分析：由已知x=2和x=7是两条对称轴，故，2（7-2）=10是f（x）的周期。且f(4)=f(2+2)=f(2-2)=f(0)=0, f(10)=f(7+3)=f(7-3)=f(4)=0.
于是f(x)=0在[0,10)上至少有两个根。
又[-1000，1000]共有200个周期，且端点是根，故至少有401个根。
例7.已知函数f(x)定义在自然数集n上，且对任意x∈n, 都有。
f(x)=f(x-1)+f(x+1), 若f(0)=1992),求f(1992).
分析：记x=n,则有f(n+1)=f(n)-f(n-1),(递推公式).连续使用可得：
f(n)=f(n-1)-f(n-2)=f(n-2)-f(n-3)-f(n-2)=-f(n-3) =f(n-6). 周期是6.
f(1992)=f(6×332)=f(0)=1992.
函数2 性质
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