在§1中我们引入了下述六种类型的函数极限：
它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以第4）种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质。
至于其他类型极限的性质及其证明，只要相应的作些修改即可。
定理3.2（唯一性）若极限存在，则此极限是唯一的。
证设、都是当时的极限，则对任给的，分别存在正数与，使得当。时有。
当时有。
取，则当时，（1）式与 (2) 式同时成立，故有。
由的任意性得。这就证明了极限是唯一的。
定理3.3（局部有界性） 若极限存在，则在某空心邻域内有界。
证设 。取，则存在，使得对一切有。
这就证明了在内有界。
定理3.4（局部保号性）若（或），则对任何正数 （或），存在使得对一切有。
或）。证设，对任何，取，则存在，使得对一切有。
这就证得结论。对于的情形可类似地证明。
定理3.5（保不等式性）设与都存在，且在某邻域内有，则。
证设，，则对任给的，分别存在正数与，使得当时。
当时有。
令，则当时，不等式与（4）,（5）式同时成立，于是。
有，从而。由的任意性得，即（3）式成立。
定理3.6（迫敛性）设==，且在某内有。
则 。证按假设，对任给的，分别存在正数与 ，使得当时。
当时有。
令，则当时，不等式（6）、（7）、（8）式同时成立，故有由此得 ，所以。
定理3.7（四则运算法则）若极限与都存在，则函数，当。
时极限也存在，且。
又若，则当时极限也存在，且有。
这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理，留给读者作为练习。
利用函数极限的迫敛性与四则运算法则，我们可从一些简单的函数极限出发计算较复杂的函数极限。
例1求。解由第一章§3习题13，当时有 ，而 ，故由迫敛性得。
另一方面，当时有 ，故由迫敛性又可得。
综上，我们求得 。
例2 求。解由及§1例4所得的。
并按四则运算法则有。
例3 求 解当时有 。
故所求极限等于 。
例4 证明。
证任给（不妨设），为使。
即，利用对数函数（当时）的严格增性，只要。
于是，令，则当时，就有（9）式成立，从而证得结论。
3 2函数极限的性质
2 函数极限的性质。教学章节 第三章函数极限 2 函数极限的性质。教学目标 使学生掌握函数极限的基本性质。教学要求 掌握函数极限的基本性质 唯一性 局部保号性 不等式性质以及有理运算性等。教学重点 函数极限的性质及其计算。教学难点 函数极限性质证明及其应用。教学方法 讲练结合。教学过程 引言。在 1...
函数极限的性质
2 函数极限的性质。教学目的与要求。1.理解掌握函数极限的唯一性 局部有界性 局部保号性 保不等式性，迫敛性定理并会利用这些定理证明相关命题。2.掌握函数极限四则运算法则 迫敛性定理，会利用其求函数极限。教学重点与难点 重点 函数极限的性质。难点 函数极限的性质的证明及其应用。讲授内容。在 1中我们...
函数2 函数性质
函数2.函数的性质。知识概要。1.单调性 1 增函数，减函数，单调区间的定义 2 复合函数y f g x 的单调性，取决于g x 与f u 的单调性 同增异减 3 若函数y f x 在定义域a上增 减 值域是b，则它必有反函数y f 1 x 且在定义域b上增 减 且值域为a。2.奇偶性 1 f x ...