§2 函数极限的性质。
教学章节：第三章函数极限——§2 函数极限的性质。
教学目标：使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点：函数极限的性质及其计算。
教学难点：函数极限性质证明及其应用。
教学方法：讲练结合。
教学过程：引言。
在§1中我们引进了下述六种类型的函数极限：
它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以为代表来叙述并证明这些性质。至于其它类型极限的性质及其证明，只要作相应的修改即可。
一、函数极限的性质。
性质1（唯一性） 如果存在，则必定唯一。
证法一设，,则。
当时，1)当时，2)
取 ，则当时（1）和（2）同时成立。因而有。
由的任意性，（3）式只有当时，即时才成立。
证法二反证，如，且，取，则，使当时，即。
矛盾。性质2（局部有界性） 若存在，则在的某空心邻域内有界。
证明取， 由 , 当时， 有，即。
说明在上有界，就是一个界。
性质3（保序性） 设，.
1）若，则，当时有；
2）若，当时有，则。（保不等式性）
证明 1） 取即得。2）反证，由1）即得。
注若在2）的条件中， 改“”为“”,未必就有。
以举例说明。
推论（局部保号性） 如果且，则使当时与同号。
性质4（迫敛性） 设，且在某内有，则。
证明 , 由，，使得当时，有，即 .
又由，，使得当时 ，有，即。
令，则当时，有。
即 ，故 .
性质6（四则运算法则） 若和都存在，则函数当时极限也存在，且 1）；2）. 又若，则当时极限也存在，且有 3）.
3）的证明。
只要证，令，由，使得当时，有， 即 .,仍然由，, 使得当时，有。
取，则当时，有。
即。二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限。
利用“迫敛性”和“四则运算”，可以从一些“简单函数极限”出发，计算较复杂函数的极限。已证明过以下几个极限：
（ 注意前四个极限中极限就是函数值 ）
这些极限可作为公式用。
在计算一些简单极限时， 利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质， 把所求极限化为基本极限， 代入基本极限的值， 即计算得所求极限。
例1 求。例2 求。
例3 求。例4
注关于的有理分式当时的极限。 参阅[4]p37.
例5 [利用公式].
例6 例7
例8 例9
例10 已知求和参阅[4]p69.
作业教材p51—52 1 -7，8(1)(2)(4)(5)；
补充题已知求和 ()
例11 求和。
解法一 又。
解法二 ， 由且原式极限存在，即。
函数极限的性质
2 函数极限的性质。教学目的与要求。1.理解掌握函数极限的唯一性 局部有界性 局部保号性 保不等式性，迫敛性定理并会利用这些定理证明相关命题。2.掌握函数极限四则运算法则 迫敛性定理，会利用其求函数极限。教学重点与难点 重点 函数极限的性质。难点 函数极限的性质的证明及其应用。讲授内容。在 1中我们...
2函数极限的性质
在 1中我们引入了下述六种类型的函数极限 它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以第4 种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质。至于其他类型极限的性质及其证明，只要相应的作些修改即可。定理3.2 唯一性 若极限存在，则此极限是唯一的。证设 都是当时的极限，则对任给的，分别存在正数与，使得当。时有。...
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习题13 1.根据函数极限的定义证明 证明 1 分析 3x1 8 3x9 3 x3 要使 3x1 8 只须。证明因为 0,当0 x3 时，有 3x1 8 所以。2 分析 5x2 12 5x10 5 x2 要使 5x2 12 只须。证明因为 0,当0 x2 时，有 5x2 12 所以。3 分析，要使，...