一、 利用函数的单调性
例2．设函数f(x)定义在r上，当x>0时，f(x)>1，且对任意m,n∈r，有f(m+n)=f(m)f(n)，当m≠n时，f(m)≠f(n)。
(1)证明：f(0)=1；
2)证明：f(x)在r上是增函数；
3)a={(x,y)|f(x2)f(y2)0。 由已知得 f(x2-x1)>1。
x1≥0 时，f(x1)≥1。 当x1<0时，-x1>0，f(-x1)>1, f(0)=f(x1+(-x1))=f(x1)×f(-x1), 即对任意的x1，总有f(x1)>0,
f(x2)=f(x1+x2-x1)=f(x1)×f(x2-x1)>f(x1)。 f(x)在r上为增函数。 (3)∵ f(x2+y2)=f(x2)f(y2)二、利用函数性质，解的有关问题。
1.判断函数的奇偶性：
例7 已知，对一切实数、都成立，且，求证为偶函数。
证明：令=0, 则已知等式变为……①
在①中令=0则2=2∵ ≠0∴=1∴∴∴为偶函数。
2.确定参数的取值范围。
例8：奇函数在定义域（-1，1）内递减，求满足的实数的取值范围。
解：由得，∵为函数，∴
又∵在（-1，1）内递减，∴
五、单调性问题。
例6. 设f(x)定义于实数集r上，当时，，且对于任意实数x、y，有，求证：在r上为增函数。
证明：在中取，得。
若，令，则，与矛盾。
所以，即有。
当时，；当时，而。
所以。又当时，所以对任意，恒有。
设，则。所以。
所以在r上为增函数。
评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。
六、奇偶性问题。
例7. 已知函数对任意不等于零的实数都有，试判断函数f(x)的奇偶性。
解：取得：，所以。
又取得：，所以。
再取则，即。
因为为非零函数，所以为偶函数。
五类抽象函数解法。
1、线性函数型抽象函数。
线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。
例1、已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在区间[－2，1]上的值域。
分析：由题设可知，函数f（x）是的抽象函数，因此求函数f（x）的值域，关键在于研究它的单调性。
解：设，∵当，∴，即，∴f（x）为增函数。
在条件中，令y＝－x，则，再令x＝y＝0，则f（0）＝2 f（0），∴f（0）＝0，故f（－x）＝f（x），f（x）为奇函数， f（1）＝－f（－1）＝2，又f（－2）＝2 f（－1）＝－4， f（x）的值域为［－4，2］。
例2、已知函数f（x）对任意，满足条件f（x）＋f（y）＝2 + f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式的解。
分析：由题设条件可猜测：f（x）是y＝x＋2的抽象函数，且f（x）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。 解：设，∵当，∴，则，
即，∴f（x）为单调增函数。 ∵又∵f（3）＝5，∴f（1）＝3。∴，即，解得不等式的解为－1 < a < 3。
2、指数函数型抽象函数。
例3、设函数f（x）的定义域是（－∞满足条件：存在，使得，对任何x和y，成立。求：
1）f（0）； 2）对任意值x，判断f（x）值的正负。
分析：由题设可猜测f（x）是指数函数的抽象函数，从而猜想f（0）＝1且f（x）＞0。
解：（1）令y＝0代入，则，∴
若f（x）＝0，则对任意，有，这与题设矛盾，∴f（x）≠0，∴f（0）＝1。
2）令y＝x≠0，则，又由（1）知f（x）≠0，∴f（2x）＞0，即f（x）＞0，故对任意x，f（x）＞0恒成立。
例4、是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）＞0，x ∈n；②；f（2）＝4。同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，说明理由。
分析：由题设可猜想存在，又由f（2）＝4可得a＝2．故猜测存在函数，用数学归纳法证明如下：
1）x＝1时，∵，又∵x ∈n时，f（x）＞0，∴，结论正确。
2）假设时有，则x＝k＋1时，，∴x＝k＋1时，结论正确。
综上所述，x为一切自然数时。
3、对数函数型抽象函数。
对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。
例5、设f（x）是定义在（0，＋∞上的单调增函数，满足，求：
1）f（1）；
2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围。
分析：由题设可猜测f（x）是对数函数的抽象函数，f（1）＝0，f（9）＝2。
解：（1）∵，f（1）＝0。
2），从而有f（x）＋f（x－8）≤f（9），即，∵f（x）是（0，＋∞上的增函数，故。
解之得：8＜x≤9。
例6、设函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x）。如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正确，试说明理由。
分析： 由题设条件可猜测y＝f（x）是对数函数的抽象函数，又∵y＝f（x）的反函数是y＝g（x），∴y＝g（x）必为指数函数的抽象函数，于是猜想g（a＋b）＝g（a）·g（b）正确。
解：设f（a）＝m，f（b）＝n，由于g（x）是f（x）的反函数，∴g（m）＝a，g（n）＝b，从而，∴g（m）·g（n）＝g（m＋n），以a、b分别代替上式中的m、n即得g（a＋b）＝g（a）·g（b）。
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