四、 函数的性质及其综合应用。
1、函数值域与最值：
例1、设g（x） 是定义在r 上，以1为周期的函数，若函数f（x）=x+g（x） 在区间[0，1]上的值域为[﹣2，5]，则f（x） 在区间[0，3]上的值域为___
2）已知，若存在区间[a，b]（0，+∞使得。
y|y=f（x），x∈[a，b]}=ma，mb]，则实数m的取值范围是___
3）．已知函数f（x）=2x+a，g（x）=x2﹣6x+1，对于任意的都能找到，使得g（x2）=f（x1），则实数a的取值范围是。
2、 函数单调性与奇偶性。
例2、（1）已知函数。
若f（2m+1）＞f（m2﹣2），则实数m的取值范围是。
2）已知是r上的增函数，那么a的取值范围是。
3）已知y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x）+2且g（1）=1，则g（﹣1）=_
4）f（x）为r上的偶函数，g（x）为r上的奇函数且过（﹣1，3），g（x）=f（x﹣1），则f（2012）+f（2013）=_
3、 函数的周期性。
例3、（1）已知奇函数满足的值为。
2）设函数y=f（x）是定义在r上的奇函数，且满足f（x﹣2）=﹣f（x）对一切x∈r都成立，又当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x3，则下列四个命题：①函数y=f（x）是以4为周期的周期函数；②当x∈[1，3]时，f（x）=（2﹣x）3； ③函数y=f（x）的图象关于x=1对称；④函数y=f（x）的图象关于（2，0）对称．其中正确的命题是。
4、 函数图像的对称性。
例4、（1）设．__
2）已知函数f（x）的定义域为r，则下列命题中：
若f（x﹣2）是偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x=2对称； ②若f（x+2）=﹣f（x﹣2），则函数f（x）的图象关于原点对称； ③函数y=f（2+x）与函数y=f（2﹣x）的图象关于直线x=2对称； ④函数y=f（x﹣2）与函数y=f（2﹣x）的图象关于直线x=2对称．其中正确的命题序号是。
5、函数性质的综合应用。
例5、已知函数f（x）=ax2+bx+1，a，b为实数，a≠0，x∈r，f（x）=，1）若f（﹣1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞求f（x）的表达式；
2）在（1）的条件下，当x∈[﹣1，1]时，g（x）=f（x）+kx是单调函数，求实数k的取值范围；
3）设mn＜0，m+n＞0，a＞0，且函数f（x）为偶函数，判断f（m）+f（n）是否大于0．
例6、对于定义域为d的函数y=f（x），若有常数m，使得对任意的x1∈d，存在唯一的x2∈d满足等式，则称m为函数y=f （x）的“均值”．（1）判断1是否为函数f（x）=2x+1（﹣1≤x≤1）的“均值”，请说明理由；
2）若函数f（x）=ax2﹣2x（1＜x＜2，a为常数）存在“均值”，求实数a的取值范围；
3）若函数f（x）是单调函数，且其值域为区间i．试**函数f（x）的“均值”情况（是否存在、个数、大小等）与区间i之间的关系，写出你的结论（不必证明）．
函数性质的应用
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