目录。一般背景及注示。
正交变换。加法定理。
表示定理。加法定理的应用。
rodrigues公式。
funk-hecke公式。
球谐函数的积分表示。
连带勒让德函数。
勒让德函数的性质。
微分方程。球谐函数的拓展。
参考文献。基本背景和记号：
令是q维欧几里得空间的一组笛卡尔坐标，这时我们有。
表达式。这里1)
表示的是q维单位球面上的笛卡尔系的点，记为，它的曲面元素为，其全部曲面为，是由表示出来的。
由定义我们设，接着我们有。
如果向量可以构成一个正交系，我们可以用。
来表示上的点，而是由张成的空间的单位向量。
这时单位球面上的曲线元素可以写成。
我们由上面可以得到。
上面积分式子的右边可以转化为。
当q=2,3,…。
记。为拉普拉斯算子，这时我们引入。
定义1:令为q维的n次齐次多项式，同时满足。
这时称为q维的n次（规则）球面调和函数。
由此我们马上可以得到：
引理1: 令和是两个次数分别为n和m的齐次调和多项式，由格林定理我们可以得到。
同样地，在上和的法向导数分别为。
因此由定义（1）我们可以得到。
引理2:对于m≠n时，有，任何q维的齐次多项式可以由下面式子代替。
其中是在点的阶齐次多项式，应用拉普拉斯算子的形式。得到。
由系数相等我们的得到：，因此，若已知和，则所有的多项式都可以知道，且线性无关的齐次调和多项式的数量与和的系数的数量相等。定义为关于的阶齐次多项式的系数的个数，则有如下形式：
显然，因此，和的系数的数量满足：
幂级数。
当时收敛。由（6）和（7）得：
现在由（7）得：
因此，将（9）式代入（8）式中，交换和的秩序，得：，所以。
由此我们得到以下引理：
引理3 n阶线性无关的球面调和函数的数量由以下幂级数。
决定，特别地当时有。
由引理3我们可以很精确地得到，当时，由二项式展开可得。因此。
如果我们设12）
我们得到。引理4：在维空间存在的线性无关次数为的球谐而且每个无关次数为的球谐可以被看成的一个线性组合。
正交变换：现在假设函数构成一个正交集，即。
如果是一个正交矩阵，而是一个次数为的球谐多项式，在上如果具有这种属性，以至于是一个次球谐波。特别地，（14）
因此，对于每一个正交矩阵对应于一个矩阵，根据（13）和（14）我们得到：
正交变换可以视为中的一个坐标变换，它离开表面元素不变，这就意味着。
现在我们由（15）可得。
因此系数是正交矩阵的一个元素，除了（16）我们还能得到。
对于中的任意两点和我们可得方程。
由于（17）对于任意的正交矩阵a
因此方程具有重要的性质就是对和同时进行正交变换方程不变。
用下面的正交变换的性质进一步去研究方程：
a) 对每个单位向量存在一个正交变换满足。
b) 对任意两个向量和有。
c) 对任意的单位向量存在正交变换群的一个子群，使固定不变。
把这些向量转化成已给的单位向量即。
勒让德函数：
我现在使用这些属性去研究我们的函数。从形式（a）中我们将转换为。然后通过（2）式，将被表示为下列形式：
通过（b）式，在进行转换之前我们知道的只也是和的数量积的值。通过（18）式，可以看出不动点子群同构于维正交群。
因此，在中对于任意两个向量和我们有。
这意味着不依赖于。因此，这是一个关于的单独的函数。这与（18）式结合我们得到：
引理5：假设是中一组球谐的正交集合，然后在中对任意的两点（或向量）和，函数只依赖于和的数量积。
在一维正交群构成的只有两个转换：。
从左边很清楚这个函数是或的次数为的球谐。从右边可得它对所有的离开固定的正交转换是对称的。从而我们需要介绍一种具有同样对称性的特殊的球谐。
定义2：假设是均匀的调和的次多项式具有下列性质：
a） 对于所有的离开不变的向量的正交变换有。
b） 那么就被称之为次勒让德多项式。
根据这一定义，函数是唯一确定的，根据表达式(4)，由同类多项式和，函数是唯一确定的。条件(a)说明这类多项式只由表式确定。
因此我们得到。当。和。
当。除了一系列的常数。函数是由条件(a)确定的。常数可以由条件(b)来确定。用参数表示(2)我们得到函数只由决定，因为。
我们有。定理一：勒让德函数可以写成如下形式。
其中是一个最高次数为n的多项式且满足；。
定理的后两个关系式很容易证明：
当时，对应的，第一个式子就是定义二的条件(b)，第二个等式可由推论一得到。
增加定理。我们现在能得出推论5的函数，因为我们知道这个函数是关于的次球简谐函数。如果是由保持不变的直角变换得到的话会变得更难改变，所以。
因为函数只可能与函数成正比。
为了决定常数，我们令，然后得到。
在上积分得到并且得到。
定理2（加法定理）让做n阶q维的求新调和函数的正交集合。
那么 是n阶q维的legendre多项式。
这个定理被称为加法定理归纳为函数在二维情形中引入了极坐标以后推导出来的。
为了求出情况下的球函数，根据这个定理我们首先求出两个n阶齐次线性无关的多项式函数。
我们假设。和
现在我们用通常的方法引入极坐标系。
即有。通过上面两个式子我们得到一个正交集合。
勒让德函数现在通过齐次调和多项式得到，这个齐次调和多项式关于轴对称，并且在处等于1. 我们有。
或者。现在令是和的标量积。 由（19）式，我们有。
在二维的情形，函数又被称为切比雪夫多项式。
如果点和有坐标和，由下面的式子，我们分别有。
并且有一下关系成立。
因此定理2转化为函数在二维情形的补充公式，这也解释了为什么这个结果称为球体调和函数的补充定理。
表示定理。众所周知，对于所有的三角函数都可以用一个简单的函数来代替。如果在一般的球面调和定理存在一个相关结果，那么问题就产生了。
根据勒让得函数加法原理显示了它可能表示所有的球面调和。这可由定理给出，定理3：对于任意的阶数n，都有点组，使得任一球面调和函数能用下述形式表达。
由上可看出，任意的球面调和函数都可可写成。
所以必须用legendre函数来表示。
可以看出能够找到点使得接着考虑行列式。
函数不能为0，因为和是线性无关的。所以有一点使得这行列式不为0因此，只需证明函数可以被勒让德函数表示。为此，我们观察到它肯定可以找到一点使得。然后，我们考虑。
因此有一点使得这些决定因素不会消失。讨论下一个决定因素。
用相同的论据通过归纳我们可以得到。
引理6：有一系列的点使得矩阵，是非退化的。
从定理2我们知道有。
这是一个关于的非退化线性方程，为了简化这些关系的公式，我们引入。
定义3：上的点组叫n阶基本点组，如果。
容易看出，通过矩阵乘以其伴随矩阵可以得到矩阵，所以定义中的行列式是非负的。如果此行列式是正的，点组满足定理3所述的性质。由于。
因而也可表示为。
定理4：球面调和度n可以表示为。
如果点组构成n阶基本点组。
很明显，正交的球面调和函数组可由函数组的线性组合得到。用基本点组来表示n阶函数依然在进行着，因为它需用更多多项式组的信息。
补充定理的应用。
在详细学习勒让德多项式之前，我们可以用补充定理得到几个关于一般球体调和函数的简单结果。
如果我们记得所有的次球体调和函数都能表示为。
由定理2，我们立即得到。
引理7 ： 对所有次球体调和函数。
这里字母与有关意味着上面积分的结果与有关。
注意到。我们由（20）式得到，利用施瓦兹不等式和定理2，21）
这样我们有。
引理8 ：令是一个次球体调和函数。 那么。
由。利用（21）式和定理2得到。
引理9：当。
从定理2我们还可以知道。
该式由整合得到。
观察上式可以发现，等式左边的值与无关，我们可以假定为。然后用坐标重新表示（2）我们可以得到。
由（22）和（23）可以得到。
另一方面，由引理2
其中。由坐标重新表示的（2），该等式可变为。
其中，该式就是与（24）式组合后的结果。
引理10罗德里格斯公式。
我们根据以下性质给出了勒让德多项式的表示：
1.是关于的次多项式。2.,且。
正交化的一般步骤显示了被前两个条件决定为一个乘常数。这个常数被第三个条件固定。
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