函数的单调性例题。
例1】已知二次函数y＝f(x)(x∈r)的图像是一条开口向下且对称轴为x＝3的抛物线，试比较大小：
1)f(6)与f(4)
解 (1)∵y＝f(x)的图像开口向下，且对称轴是x＝3，∴x≥3时，f(x)为减函数，又6＞4＞3，∴f(6)＜f(4)
时为减函数．
解任取两个值x1、x2∈(－1，1)，且x1＜x2．
当a＞0时，f(x)在(－1，1)上是减函数．
当a＜0时，f(x)在(－1，1)上是增函数．
例3】利用函数单调性定义证明函数f(x)＝－x3＋1在(－∞上是减函数．
证取任意两个值x1，x2∈(－且x1＜x2．
又∵x1－x2＜0，∴f(x2)＜f(x1)
故f(x)在(－∞上是减函数．
得f(x)在(－∞上是减函数．
解定义域为(－∞0)∪(0，＋∞任取定义域内两个值x1、x2，且x1＜x2．
当0＜x1＜x2≤1或－1≤x1＜x2＜0时，有x1x2－1＜0，x1x2＞0，f(x1)＞f(x2)
f(x)在(0，1]，[1，0)上为减函数．
当1≤x1＜x2或x1＜x2≤－1时，有x1x2－1＞0，x1x2＞0，f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在(－∞1]，[1，＋∞上为增函数．
根据上面讨论的单调区间的结果，又x＞0时，f(x)min＝f(1)＝2，当x＜0时，f(x)max＝f(－1)＝－2．由上述的单调区间及最值可大致。
说明 1°要掌握利用单调性比较两个数的大小．
2°注意对参数的讨论(如例2)．
3°在证明函数单调性时，要灵活运用配方法、判别式法及讨论方法等．(如例3)
4°例4是分层讨论，要逐步培养．
函数的奇偶性的典型例题。
一、关于函数的奇偶性的定义。
定义说明：对于函数的定义域内任意一个：
是偶函数；奇函数；
函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。
二、函数的奇偶性的几个性质。
、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；
、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；
、可逆性： 是偶函数；
奇函数；、等价性：
、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称；
、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
三、函数的奇偶性的判断。
判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：
第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查是否与、相等，判断步骤如下：
1、 定义域是否关于原点对称；
2、 数量关系哪个成立；
例1：判断下列各函数是否具有奇偶性。
解：⑴为奇函数为偶函数为非奇非偶函数
为非奇非偶函数 ⑸为非奇非偶函数 ⑹既是奇函数也是偶函数。
例2：判断函数的奇偶性。
第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。
四、关于函数按奇偶性的分类。
全体实函数可按奇偶性分为四类：①奇偶数、②偶函数、③既是奇函数也是偶函数、④非奇非偶函数。
五、关于奇偶函数的图像特征。
例1：已知偶函数在轴右则时的图像如图（一）试画出函数轴右则的图像。
六、关于函数奇偶性的简单应用。
1、利用奇偶性求函数值。
例1：已知且，那么。
2、利用奇偶性比较大小。
例2：已知偶函数在上为减函数，比较，，的大小。
3.利用奇偶性求解析式。
例3：已知为偶函数，求的解析式？
4、利用奇偶性讨论函数的单调性。
例4：若是偶函数，讨论函数的单调区间？
5、利用奇偶性求参数的值。
例6：定义在r上的偶函数在是单调递减，若，则的取值范围是如何？
6、利用图像解题。
例7（2004.上海理）设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x∈[0,5]时， f(x)的图象如右图，则不等式的解是。
7.利用定**题。
例8.已知函数，若为奇函数，则___
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