[学习目标]
1. 掌握函数的单调性奇偶性和周期性的概念，基本的判断方法与步骤，并能够运用这些性质解决相关问题；
2.熟练掌握常见函数如二次函数，反比例函数，指数函数与对数函数等的性质；
3. 理解掌握反函数的概念，明确反函数的意义，掌握求反函数的方法步骤，理解反函数与原函数的关系等；
4. 熟练掌握函数的图象变换，并能够灵活运用函数的图象与对称性解决相关问题。
[学习重点]
1. 函数的单调性的定义与运用；
2. 奇偶性与周期性的定义与判断；
3. 反函数的概念
4. 四类图象变换。
[学习难点]
1. 函数单调性，奇偶性，周期性的综合运用；
2.复杂图象变换(两次或两次以上的变换)
[学习过程]
1. 函数的单调性
函数的单调性判断有两个方法；定义法或导数法。对定义的理解要注意：
①单调性是针对某区间而言；
②定义中的x1，x2具有任意性，不能用特殊值代替。
③若f(x)在某区间d上单增(减)，且f(x1)x2)
2. 函数的奇偶性
函数有奇偶性的必要条件是函数的定义域关于原点对称，很多同学往往忽略了这一点。
利用函数奇偶性可解决有关求值问题。
3. 函数的周期性
对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数t，使得对定义域内的任意x，都有f(x+t)=f(x)，则t叫f(x)的一个周期。
4. 反函数
只有一一映射的函数才有反函数。
求反函数的基本步骤是：①求原函数f(x)的定义域和值域；②反解y=f(x)，即用含y的代数式表示x；③将x，y互换；④写出f-1(x)解析式，并给出f-1(x)的定义域，即y=f(x)的值域。
原函数和反函数的图像关于直线y=x对称。
5. 常见函数
①明确二次函数与二次方程，二次不等式的关系，在解决二次函数有关问题时应有数形结合的思想。
②指、对函数
明确指、对函数的图象与性质，熟练掌握指对运算，能利用指对函数性质灵活解决有关求值，比大小、解方程和不等式问题。
6. 图象变换
①y=f(x)→y=f(x+m)
y=f(x)→y=f(x)+n
②对称变换
y=f(x)→y=f(-x)
y=f(x)→y=-f(x)
y=f(x)→y=-f(-x)
y=f(x)→y=f(2a-x)
③翻折变换
y=f(x)→y=f(|x|)
y=f(x)→y=|f(x)|
④伸缩变换
y=f(x)→y=f(wx)(w>0)
y=f(x)→y=af(x)(a>0)
在一个题目中涉及到多个变换时，注意变换顺序不同而对函数的影响可能不一样。
[典型例题]
例1. 函数，求其定义域、奇偶性，并用定义证明其在定义域上的单调性。
解：(1)
∴函数f(x)的定义域是(-1,1)
(2)对任意x∈(-1,1)，
而。∴f(-x)= f(x)
∴f(x)是奇函数。
(3)在(-1,1)上任取x1，x2，使得 -10
∴f(x1)0，恒满足h(x1·x2)=h(x1)+h(x2)，若h(x)为(0，+∞上减函数，且，解不等式h(-x)+h(3-x)<-2
解：(1)∵f(1-x)<-f(1-x2)=f(x2-1)
解得00时，，求f(x)在r上的解析式。
解：(1)∵f(x+2)=-f(x)则f(x)=-f(x-2)
∴f(x+2)=f(x-2) ∴4是f(x)的一个周期。
∴f(71.5)=f[71.5+4×(-18)]=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5
(2)∵f(x)是r上偶函数。
∴对任意x∈r，有f(-x)=f(x)
又f(x)图象关于x=1对称。
∴f(x)=f(2-x)
∴f(-x)=f(2-x)
∴2是f(x)的一个周期。
(3)∴f(x)是r上奇函数，∴f(0)=0
当x<0时，-x>0，这时。
又。例4. (1)求函数的反函数。
(2)要使函数y=x2+4x(x≥a)存在反函数，求实数a的取值范围。
解：(1)当x≤1时y=x2+1这时y≥2
∴x2=y-1，当x>-1时，y=-x+1这时y<2
∴x=1-y
综上，(2)考虑到函数y=x2+4x单调性是在(-∞2)上，单减，在(-2，+∞上单增。
只需a≥-2
例5. 利用图象变换作出下列函数图象
解：(1)先在平面直角坐标系内作出反比例函数的图象，再将图象向右平移一个单位，最后将y轴左边部分图象去掉，将y轴右边图象以y轴为折线翻折过来，两边合起来就得到的图象，如图。
(2)先在平面直角坐标系中作出的图象，再将图象向左平移一个单位，然后作该图象关于y轴对称的图象，可得，最后将x轴下方部分图象以x轴为折线翻折上去，与原来x轴上方部分合并起来，即为的图象。如图。
注：(1)中，若先翻折，再平移，得到的是的图象；(2)中，也可以先对称，再平移，由。
平移时应右移一个单位，得到函数即的图象。因此同学们需要注意变换顺序不同对结果的可能影响。
[课后练习]
1. 判断下列函数的奇偶性：
2. (1)f(x)=ax+bsinx+1(ab≠0)，若f(5)=7，则f(-5)=_
(2)已知f(x)图象过点(0，1)，则函数f(x+4)的反函数图象一定过点___
(3)函数y=f(x)与的图象关于直线x=1对称，则f(x)=_
(4)若x∈r，则函数y=f(x-1)与函数y=f(1-x)的图象关于直线___对称。
3. 若函数f(x)=a2x+2ax-1(a>0且a≠1)在区间[-1,1]上最大值是14，求a的值。
4. 若函数f(x)=4xa+2x+1在上f(x)>0恒成立，求a的取值范围。
5. 设f(x)=-bx+c,f(0)=3，对x∈r恒有f(2-x)=f(x)，试比较f(bx)与f(cx)大小关系。
[参***]
1. (1)奇函数 (2)奇函数。
2. f(-5)=-5
(4)x=1
3. 3或。
5. f(cx)≥f(bx)
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