一、单调性。
1. 增函数、减函数的定义。
设函数的定义域ｉ，如果对于ｉ内某个区间ｄ上任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，若 ，则在上是增函数；②若 ，则在上是减函数．
函数单调性可从二个方面理解。
①图形刻画：增函数图象从左到右是 ；减函数图象从左到右是 ．
②定性刻画：函数值随自变量的增大而 ，则称函数在该区间上单调递增，函数值随自变量的增大而 ，则称函数在该区间上单调递减。．
2. 函数单调性的判断方法： 讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；
10. 根据定义判断的步骤为。
20.利用函数的导数判定：若在某个区间i可导，当时，为函数；当时，为函数．若在某个区间i可导，当在i上递增时，则 0；当在i上递减时，则 0；
30.利用复合函数关系判断单调性：法则是”同增异减”,即两个简单函数的单调性相同，则复合函数为若两个简单函数的单调性相反， 则复合函数为。
3. 单调性的性质：奇函数在对称区间上具有的单调性； 偶函数在对称区间上具有的单调性；互为反函数具有的单调性。
4.简单结论：（1）在公共定义域内，增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数。
2)函数在上单调递增；在单调递减。
5．函数单调性的应用：①比较函数值的大小②可用来解不等式。③求函数的值域或最值等。
二、奇偶性。
1. 函数的奇偶性。
定义：若对于函数定义域内的每一个，都有则函数叫做奇函数；都有 ,则函数叫做偶函数。
图象特征：奇函数图象关于对称；偶函数图象关于对称。 奇偶性定义的等价形式：，．
判定方法：首先看定义域再考查和的关系，对能化简的解析式应先再判断。
③常用结论： 10.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的条件。
20.若奇函数的定义域包含0,则 . 30.
奇函数在对称的单调区间内有的单调性，偶函数在对称的单调区间内具的单调性。４0为偶函数．
5．设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇．
三。函数的周期性。
定义：对于函数，若存在一个常数t,使当取定义域内的值时，都有则函数叫做周期函数，其中叫做的周期。若所有的周期中存在一个常数t>0,那么这个t叫做的。
常用结论： 10.若是的周期，则也是其 .
20. 若定义域内任意实数（为常数）,恒有下列条件之一成立：； 则是周期函数， 是它的一个周期．
例题分析：一)函数单调性的判断与应用。
例1．判断函数f (x)＝在区间(－1，1)上的单调性。
例2：求下列函数的值域。
例3．（1）求函数的单调递增区间 （2）求函数的单调递减区间；
例4．(1) 在区间（-∞4）上是减函数，求a的取值范围。
2) 已知在区间上是增函数，求实数的取值范围．
3) 已知，在［２,上单调递减，求的范围．
变式训练(1)已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是___答：）)
2) .已知f (x )＝在上是增函数， 则m的取值范围是。
例5:判断下列函数的奇偶性：
5）； 6）；（7）（其中，）
例6. （1）已知奇函数是定义在（－２上的减函数，若， 求实数的取值范围．
2）设函数y＝f (x)是定义在r上的偶函数，并在区间(－∞0)内单调递增， 若 f(2a＋1)变式训练(1)奇函数定义在上，且在定义域内是减函数．若，求实数a的取值范围．
2) 若定义在r上的偶函数在上是减函数，且=2，则不等式的解集为___
3) 若函数f(x)是定义在r上的偶函数，在(-∞0)上是减函数，且f(2)=0，则使得f(x)＜0的x的取值范围是。
a．(-2) b．(2，+∞c．(-2)∪(2，+∞d．(-2，2)
例7．已知函数的定义域是的一切实数，对定义域内的任意都有，且当时，（1）求证：是偶函数；（2）在上是增函数；（3）解不等式．
变式训练：设函数y＝f (x)是奇函数，对于任意x、y∈r都有f (x＋y)＝f (x)＋f (y)，且当x>0时， y<0, f(1)＝－2，求函数y＝f (x)在区间[－3, 3]上的最大值和最小值。
例8.(1)已知上的奇函数满足，则的值为。
2)设偶函数对任意，都有，且当时，，则（ ）
3)函数对于任意实数满足条件，若，则。
参***。例1． 解：设－1 ∵ x12－1<0, x22－1<0, x1x2＋1<0, x2－x1>0, ∴0, ∴函数y＝f (x)在(－1, 1)上为减函数，变式训练1 解：
设－10, ∴0, ∴当a>0时， f (x1)－f (x2)>0, 函数y＝f (x)在(－1, 1)上为减函数， 当a<0时， f (x1)－f (x2)<0, 函数y＝f (x)在(－1, 1)上为增函数例2解：（1）单调增区间为：单调减区间为，变式训练2． 解：
设f(x)＝ f (x2－2x－3)＝f (u), u＝x2－2x－3, 对于函数u＝x2－2x－3，当x≥1时， 函数u为增函数，当x<1时， 函数u为减函数， 对于函数f (u)＝4－u2, 当u≥0时， f (u)为减函数，当u<0时， f (u)为增函数， ∴当x≥3时， 函数u为增函数且u≥0, f (u)为减函数，此时f(x)为减函数， 当1≤x≤3时， 函数u为增函数且u≤0, f (u)为增函数，此时f(x)为增函数， 当－1≤x≤1时， 函数u为减函数且u≤0, f (u)为增函数，此时f(x)为减函数， 当x≤－1时， 函数u为减函数且u≥0, f (u)为减函数，此时f(x)为增函数，综上得，函数f (x2－2x－3)的递增区间是[1, 3]与(－∞1例3解(1) (2)
变式训练3.(1) (2)解：∵函数在上是增函数，∴对任意的有，即，得，即，要使恒成立，只要；
又∵函数在上是增函数，∴，即，综上的取值范围为．
另解：（用导数求解）令，函数在上是增函数，∴在上是增函数，，∴且在上恒成立，得． 例4.
变式训练4．解：函数y＝f (x)是定义在r上的偶函数，并在区间(－∞0)内单调递增， ∴在区间(0, ＋上递减，又 ∵2a2＋a＋1>0, 3a2－2a＋1>0, f(2a2＋a＋1)3a2－2a＋1, 解得0例5．解：（1）令，得，∴，令，得∴，，是偶函数．
2）设，则，∴，即，∴ 在上是增函数．
3），∴是偶函数∴不等式可化为，又∵函数在上是增函数，∴，解得：，即不等式的解集为．
变式训练5: 解：设x1, x2∈[－3, 3], 且x10, ∴f(x2)－f (x1)＝f (x2－x1＋x1)－f (x1)＝ f (x2－x1)＋f (x1)－ f (x1)＝ f (x2－x1)<0,∴ 函数y＝f (x)为减函数， ∴当x＝3时， f (3)＝3f (1)＝－6, 为最小值；当x＝－3时， f (－3)＝3f (－1)＝6 为最大值。
四．练习： 1.下列函数中，在区间（0，2）上增函数的是( )
2.下列函数中，在区间上是增函数的是。
当x=2时，y＞0，递减区间是( )a（－∞3）b（1，＋∞c（－∞1）d（－1，＋∞
4.如果函数f（x）=x2+2（a－1）x+2在区间（－∞4］上是减函数，那么实数a的取值范围是。
5.如果函数f（x）=x2+2（a－1）x+2的减区间为（－∞4］，那么实数a的值是。
6.设函数则（ ）a．有最大值b．有最小值c．是增函数 d．是减函数。
7.函数的单调增区间为。
8.已知奇函数在单调递增，且，则不等式的解集是___
9.如果奇函数在区间上是增函数，且最小值为，那么在区间上是增函数且最小值为增函数且最大值为减函数且最小值为减函数且最大值为。
10.函数y=log|x－3|的单调递减区间是。
例1． 判断下列函数的奇偶性：
5）； 6）；（7）（其中，）
例2．若f（x）=为奇函数，求实数a的值。
例3. 设，是上的偶函数。 （1）求的值；（2）证明在上为增函数。
例4. 已知函数对一切，都有（1）求证：是奇函数；（2）若，用表示。
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第一讲函数的性质。核心知识 理清知识脉络。一 知识构架。二 概念 思想方法剖析。知识点详解 请做好记录。1 集合与映射 2 函数的解析式 3 函数的定义域 4 函数的单调性 5 函数的奇偶性 6 函数的周期性 7 函数的值域与最值 8 函数的图像 9 函数的对称性。核心理念 提炼问题本质。一 基础篇...