一、函数的单调性。
1、证明函数的单调性（作差、作商、含无理式的可能会分子有理化）
如：证明函数在上是单调减函数。
2、判断函数的单调性：增+增=增，增-减=增，减-增=减，减+减=减。
如：试判断函数的单调性。
3、求函数的单调区间（注意一定要先求函数的定义域，复合函数的单调性）
如：求函数的单调增区间。
注意：函数在（1,9）上单调递增与函数的单调增区间是（1,9）是不同的。
2、函数的奇偶性（在判断函数奇偶性前先判断函数的定义域是否关于原点对称）
偶函数：，函数图像关于y轴对称。
奇函数：，函数图像关于原点对称（奇函数若在x=0处有定义，则函数图像必过原点）
说明：函数的奇偶性一般与单调性一起出题。
3、函数的对称性和周期性（周期是指最小正周期）
1、函数的对称性——对称轴：说明函数对称轴为直线。
对称中心：，则函数的图象关于点对称。
说明函数的对称中心为点（，0）
2、函数的周期性：若函数同时有两条对称轴直线x=a和x=b,则它的周期为t=2
若函数同时有个对称中心（a,0)和（b,0),则它的周期为t=2
若函数有一条对称轴直线x=a和一个对称中心（b,0)，则它的周期为t=4
若，或，或，或，则的周期为。
若，或，则周期为。
例题讲解。1、已知定义在上的奇函数满足，则的值为
2、 设的最小正周期且为偶函数，它在区间上的图象如右图所示的线段，则在区间上。
3、已知是周期为的函数，当时，，当时，的解析式是。
4、定义在上的函数满足，当时，，则
5、设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意的，都有。
设，求、；证明：是周期函数。
6、已知。7、若y=log(2－ax)在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是。
8、设函数为奇函数，则＿＿＿
9、已知函数（），函数的值域为（ ）
10、若函数的定义域为r，则实数的取值范围为＿＿＿
11、已知定义域为的函数是奇函数。
ⅰ）求的值；（ⅱ若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；
12、在r上定义的函数是偶函数，且，若在区间是减函数，则函数在区间上是函数，区间上是函数。
13、如果奇函数在区间上是增函数，且最小值为5，那么在区间上是函数且最值为。
14、已知定义域为r的函数在区间上为减函数，且函数为偶函数，则（ ）
a. b. c. d.
15、已知定义域为r的函数在区间上单调递减，对任意实数，都有，则的大小关系是___
16、已知f(x)是定义在r上的偶函数，并满足：，当2≤x≤3，f(x)=x，则f(5.5
17、设f(x)是(－∞上的奇函数，f(x+2)=－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=x，则f(7.5)等于。
18、设函数是在上是增函数，函数是偶函数，则的大小关系是___
19、已知函数为r上的减函数，则满足的实数的取值范围是。
20、函数f（x）＝－x2＋2（a－1）x＋2在（－∞4）上是增函数，则a的范围是。
21、已知函数f(x)=x2+ax+b，且对任意的实数x都有f(1+x)=f(1－x)成立。
1）求实数a的值；（2）利用单调性的定义证明函数f(x)在区间[1，＋∞上是增函数。
22、已知函数f(x)=，x∈［1，＋∞1）当a=时，求函数f(x)的最小值；
2）若对任意x∈[1，＋∞f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．
23、已知函数。（1）判断函数的奇偶性；
2）若在区间是增函数，求实数的取值范围。
练习。1、若函数在区间上为减函数，则实数的取值范围是。
2、已知函数，若存在实数，当时，恒成立，则实数的最大值是（ ）
a．1；b．2；c．3；d．4
3、已知t为常数，函数在区间[0，3]上的最大值为2，则。
4、已知函数，求的值。
5、设函数为奇函数，则。
6、已知函数是定义域为的偶函数，则的值是。
7、已知函数（a、b、c∈z）是奇函数，又，，求a、b、c的值。
8、已知奇函数是定义在上的减函数，若，求实数的取值范围。
9、设函数f(x)是定义在r上的偶函数，并在区间(－∞0)内单调递增，f(2a2+a+1)10、若是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（ ）
11、定义在r上的奇函数有最小正周期4，且时，。求在上的解析式。
12、已知定义在上的偶函数满足对于恒成立，且，则
13、设是定义在上的正值函数，满足。若是周期函数，则它的一个周期是。
14、函数对于任意实数满足条件，若则。
15、设函数 (x∈r)为奇函数，，，则。
16、偶函数满足：，且在区间与上分别递减和递增，则不等式的解集为。
函数的性质
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