函数的性质

第一讲函数小史与函数的概念

数学史表明，重要的数学概念的产生和发展，对数学发展起着不可估量的作用，有些重要的数学概念对数学分支的产生起着奠定性的作用。我们刚学过的函数就是这样的重要概念．

在笛卡尔引入变量以后，变量和函数等概念日益渗透到科学技术的各个领域．纵览宇宙，运算天体，探索热的传导，揭示电磁秘密，这些都和函数概念息息相关．正是在这些实践过程中，人们对函数的概念不断深化．

最早提出函数（function）概念的，是17世纪德国数学家莱布尼茨．最初莱布尼茨用摵龜一词表示幂，如ｘ，ｘ2，ｘ3都叫函数．以后，他又用函数表示在直角坐标系中曲线上一点的横坐标、纵坐标．

2023年，莱布尼茨的学生、瑞士数学家贝努利把函数定义为：“由某个变量及任意的一个常数结合而成的数量．”意思是凡变量ｘ和常量构成的式子都叫做ｘ的函数．贝努所强调的是函数要用公式来表示．后来数学家觉得不应该把函数概念局限在只能用公式来表达上，只要一些变量变化，另一些变量能随之而变化就可以，至于这两个变量的关系是否要用公式来表示，就不作为判别函数的标准。

2023年，瑞士数学家欧拉把函数定义为“如果某些变量：“以某一种方式依赖于另一些变量．即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数．”在欧拉的定义中，就不强调函数要用公式表示了．由于函数不一定要用式来表示，欧拉曾把画在坐标系的曲线也叫函数．他认为：“函数是随意画出的一条曲线。

”当时有些数学家对于不用公式来表示函数感到很不习惯，有的数学家甚至抱怀疑态度．他们把能用公式表示的函数叫“真函数”，把不能用公式表示的函数叫“假函数’。

2023年，法国数学家柯西给出了类似现在中学课本的函数定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数，在柯西的定义中，首先出现了自变量一词。

2023年，**数学家罗巴契夫斯基进一步提出函数的定义：“ｘ的函数是这样的一个数，它对于每一个ｘ都有确定的值 “并且随着ｘ一起变化．函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法．函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的“，这个定义指出了对应关系（条件）的必要性，利用这个关系以求出每一个ｘ的对应值。

2023年德国数学家狄里克雷认为怎样去建立ｘ与ｙ之间的对应关系是无关紧要的，所以他的定义是：“如果对于ｘ的每一个值，ｙ总有一个完全确定的值与之对应，则ｙ是ｘ的函数．”这个定义抓住了概念的本质属性，变量ｙ称为ｘ的函数，只须有一个法则存在，使得这个函数取值范围中的每一个值，有一个确定的ｙ值和它对应就行了，不管这个法则是公式或图象或**或其他形式．这个定义比前面的定义带有普偏性，为理论研究和实际应用提供了方便．因此，这个定义曾被比较长期的使用着．自从德国数学家康托尔的集合论被大家接受后，用集合对应关系来定义函数概念就是现在高中课本里用的了。中文数学书上使用的“函数”一词是转译词．是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（2023年）一书时，把“funcion”译成——函数，中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思，李善兰给出的定义是：

“凡式中含天，为天之函数．”中国古代用天、地、人、物４个字来表示４个不同的未知数或变量．这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量ｘ，则该式子叫做ｘ的函数．”所以“函数”是指公式里含有变量的意思。

我们可以预计到，关于函数的争论、研究、发展、拓广将不会完结，也正是这些影响着数学及其相邻学科的发展。

函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想函数是中学数学的重要的基本概念之一，它与代数式、方程、不等式、三角函数、微积分等内容有着密切的联系，应用十分广泛。函数的基础性强、概念多，其中函数的定义域、值域、奇偶性等是难点之一，是高考的常见的题型。

函数的有关概念。

1．函数的概念：

设a、b是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合a中的任意一个数x，在集合b中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：a→b为从集合a到集合b的一个函数（function）．

记作：y=f(x)，x∈a．

其中，x叫做自变量，x的取值范围a叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（range）．

注意：（1） “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；

2）函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．

3）构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域。

2．区间的概念。

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；

（2）无穷区间；

（3）区间的数轴表示．

第二讲函数的解析式求法。

一求函数解析式：（待定系数法、配凑法、换元法、解方程组法等方法的运用）。

例1. 已知函数f(2x－1)= 求y=f(x)的解析式；

练习1：已知函数f()=求y=f(x)的解析式；

例2 已知 f(x)=3x2+1,g(x)=2x－1,求f[g(x)];

练习2：：g(x)=x+1,f[g(x)]=2x2+1,求f(x-1)的解析式；

例3 如果函数f(x)满足af(x)+f （)ax,（x∈r且x≠0,a为常数，且a≠±1）,求f(x)的解析式；

练习3：2f(x)－f(－x)=lg(x+1),求f(x).

例4.已知f(x)是一次函数，并且满足3f(x+1)-2f(x-1)＝2x+17,求f(x).

练习4：已知f(x)是二次函数，满足f(0)=1且f(x+1)-f(x)＝2x, 求f(x).

例5.设f(x)是r上的函数，且满足f(0)=1，并且对任意实数x,y 有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，求f(x);

练习5：函数f(x)对任何x∈r恒有f(xy)=f(x)+fy),已知f(8)=3, 则求f(27).

例6.已知定义在r上的函数y=f(x)关于直线x=2对称并且x∈[0,2]上的解析式为y=2x-1,则求f(x)在x∈[2,4]上的解析式；

练习6：设函数y=f(x)关于直线x=1对称，若当x≤1时，y=x2+1,则当x>1时，求f(x).

第三讲函数的定义域的求法。

二求函数定义域：

函数的定义域是函数中自变量的取值范围，如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合，函数的定义域通常由问题的实际背景确定，函数的定义域、要写成集合或区间的形式．求函数的定义域需要从这几个方面入手：

1）分母不为零 .（2）偶次根式的被开方数非负。（3）对数中的真数部分大于0。

4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx中x≠kπ+π2, y=cotx中x≠kπ等等。）

例7已知函数f(x)的定义域为［a，b］，且a+b＞0，求f(x2)的定义域：

解：根据题意b＞a，且b＞－a，∴b＞|a|≥0.由a≤x2≤b，得当a≤0时，x∈［－当a＞0时，x

f(x2)的定义域当a≤0时，是［－当a＞0时，是。

例8：已知y=f(lgx)的定义域是［ 10，100］.

1)求f(x)的定义域； (2)求f(x2－2)的定义域。

归纳：注意y=f(lgx)、y=f(x)、y=f(x2－2)是三个不同的函数，定义域指函数中自变量x的取值范围。

练习7：设函数f(x)= 则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围是（）

a.(－2］∪［0，10］ b.(－2］∪［1，10］

c.［－2，0］∪［1，10］ d.(－2)∪［0，1］

第四讲函数的值域的求法。

三求函数的值域：

函数的值域是函数值的取值范围。设y=f(x)定义域为a，则y=f(x)的值域是。函数的值域、要写成集合或区间的形式．）

求函数值域的基本方法（直接法、换元法、判别式法）；二次函数值域（最值）或二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法。常用的求值域的方法：（1）化归法；（2）图象法（数形结合）， 3）函数单调性法，（4）配方法，（5）换元法，（6）反函数法（逆求法），（7）判别式法，（8）复合函数法，（9）三角代换法，（10）基本不等式。

一）：利用常见函数的值域来求

一次函数y=ax+b(a≠ 0)的定义域为r，值域为r；

⑵ 反比例函数 y=k/x 的定义域为，值域为； ⑶二次函数的图象 y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）

抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = b/2a。

抛物线顶点p，坐标为 p [ b/2a ，(4ac-b2)/4a ]。

当-b/2a=0时，p在y轴上；当δ= b2-4ac=0时，p在x轴上。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。 |a|越大，则抛物线的开口越小一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。.

常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于（0，c）

3 抛物线与x轴交点个数

= b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

= b2-4ac =0时，抛物线与x轴有1个交点。

= b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。

二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数（以下称函数）y=ax2+bx+c当y =0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax2+bx+c =0 此时，函数图象与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。二次函数的定义域为r，当a>0时，值域为；当a<0时，值域为。

例题讲解。例1求函数y=3+ 的值域。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。

例2．求下列函数的值域

⑴ y=-x2+2x+32) y=3x+2(-1 ＜x ＜1)

例3 求下列函数 y=x2-4x+5 ( 1 ≤x＜ 3) 的最大值、最小值与值域：

注：对于二次函数 , y=ax2+bx+c，

若定义域为r时，

当a>0时，则当 x=-b/2a时，其最小值；

当a<0时，则当 x=-b/2a时，其最大值 .

若定义域为x ∈[a,b],则应首先判定其顶点横坐标x是否属于区间[a,b].

若 -b/2a ∈[a,b],则(4ac-b2)/4a 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较[a,b] 的大小决定函数的最大（小）值。

若-b/2a [a,b],则[a,b]是否在的单调区间内，只需比较f(a)与f(b) 的大小即可决定函数的最大（小）值。

注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；

当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。

二）反函数法。

当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例4:函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

函数的性质

函数的性质

函数的性质

函数的性质a

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