下取整(floor)和上取整（ceiling）对任何一个实数x，小雨或等于x的最大整数表示为（读作x的下取整），大于和等于x的最小整数表示为（读作x的上取整）。对于所有的实数x，3.3）
对于任何整数n，3.4）
对于任意实数和整数， >0,3.5）
下取整函数是单调递增的，上取整函数亦然。
性质（3.3）的证明：
对于，可以表示为：
其中，，则有。
同理可得。即性质（3.3）：
性质（3.4）的证明：
对于，则。当时，此时。
当时， 此时。
即性质（3.4）：
性质（3.5）及（3.6）的证明：
对于，和，
设3.9）则。
由公式（3.9）得3.10）
整理3.11）
要证明性质（3.5）及（3.6）成立，只需证，由此只需证。
不等式的左边显然成立；
现在证。由 得： 即。
即。即： 即性质：
性质（3.7）及（3.8）的证明：
对于， 设。
此时 即性质（3.7）成立。
又设。此时
即性质（3.8）成立。
函数的性质
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函数的性质a
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