函数的基本性质2011.07
班级姓名学号成绩。
一。 填空题。
1.函数y =3-的值域是。
答案：（-2]
提示：y=3-,当x=1时，ymax=2.又在［1，+∞中是增函数，因此y无最小值，故y∈(-2］.
2.函数y= (x>-1)的最小值是。
答案：2.提示：y= (x+1)+≥2=2(当且仅当x=时等号成立).
3.函数y=的值域为。
答案：（-4］.
提示：当x≤0时，y=2x+3∈(-3］；当01时，y=-x+5∈(-4).∴函数的值域为（-∞3］∪(3，4］∪（4）=(4］.
4.设0答案：4.
提示：, 5.下面四个结论：
①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈r).其中正确命题的个数是。
答案：1.提示：
偶函数的图象关于y轴对称，但不一定与y轴相交，反例：y＝x-2,y＝x0等，∴①错误，③正确。奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，反例：
y＝x-1,∴②错误。若y＝f(x)既是奇函数又是偶函数，由定义可得f(x)＝0,但未必x∈r.(只要定义域关于原点对称就可以)
6.已知f(x)是定义在r上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2-2x+1,则f(x)的表达式为。
答案： 提示：∵f(x)是奇函数，∴f(-0)＝-f(0).
∴f(0)＝0.当x＜0时，-x＞0,则f(-x)＝x2+2x+1.∵f(-x)＝-f(x),∴f(x)＝-x2-2x-1.
∴7.函数f(x)对于任意实数x满足条件，若f(1)＝-5,则f［f(5
答案：.提示：由得，所以f(5)＝f(1)＝-5,则f［f(5)］＝f(-5)＝f(-1)＝.
8.若，则。
答案：.提示：解法一：
所以，因此。
解法二： 9．设 ，又记。
则 __答案：.
提示：由已知条件得到，可见，是以4为周期的函数，而，所以，10.已知函数，如果，则实数a的取值范围是。
答案： 提示：：由题意知f(x)是奇函数且在（－1，1）上单调递增，又由，得，则，解得。
11.若x∈r、n∈n*,定义：＝x(x+1)(x+2)…(x+n-1),例如：＝(5)×(4)×(3)×(2)×(1)＝-120,则函数的奇偶性为。
答案：偶函数。
提示：＝x(x-9)(x-8)…x…(x+8)［(x-9)+19-1］＝x2(x2-92)…(x2-1).
12.已知f(x)是定义在r上的且以2为周期的偶函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x2,如果直线y＝x+a与曲线y＝f(x)恰有两个交点，则实数a
答案：2k 或 (k∈z) .
提示：用数形结合法。由题意可作出函数的大致图象(如图),满足条件的直线有l1和l2两类，l1这种情况的a＝0,l2这种情况的。又函数的周期为2,故所求a的值为2k或(k∈z).
13.已知f(x)是周期为2的偶函数，且在区间［0，1］是增函数，则f(-6.5),f(-1),f(0)的大小关系为。
答案：f(0)提示：f(-6.
5)=f(-3×2-0.5)=f(-0.5)=f(0.
5),f(-1)=f(1).∵f(x)在［0，1］单调递增，∴f(0)14.已知f(x)是r上的偶函数，且在［0，+∞上是减函数，f(a)=0(a>0),那么不等式xf(x)<0的解集是。
答案：.提示：利用图象法，画出符合条件的函数图象，如下图，由此可知，不等式的解集是。
二、解答题。
15. 判断下列函数的奇偶性：
1）f（x）=|x+1|－|x－12）f（x）=（x－1）·；
解：（1）函数的定义域x∈（－对称于原点。
f（－x）=|x+1|－|x－1|=|x－1|－|x+1|=－x+1|－|x－1|）=f（x），f（x）=|x+1|－|x－1|是奇函数。
2）先确定函数的定义域。由≥0，得－1≤x＜1，其定义域不对称于原点，所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数。
3）去掉绝对值符号，根据定义判断。
由得。故f（x）的定义域为［－1，0）∪（0，1］，关于原点对称，且有x+2＞0.
从而有f（x）= f（－x）==f（x）
故f（x）为奇函数。
4）∵函数f（x）的定义域是（－∞0）∪（0，+∞并且当x＞0时，－x＜0，f（－x）=（x）［1－（－x）］=x（1+x）=－f（x）（x＞0）.
当x＜0时，－x＞0，∴f（－x）=－x（1－x）=－f（x）（x＜0）.
故函数f（x）为奇函数。
16.已知函数f(x)= b<0)的值域为［1，3］.
1）求实数b、c的值；
2）判断f(x)=lgf(x)在x∈［-1，1］上的单调性，并给出证明。
解：（1）由y=,知x∈r,去分母，整理得（2-y）x2+bx+c-y=0,(*
当y-2≠0时，由x∈r有δ=b2-4(2-y)(c-y)≥0,即4y2-4(2+c)y+8c-b2≤0,由题设及二次不等式与方程的关系得2+c=1+3且=1×3，解之得b=±2,c=2,又b<0,∴b=-2,c=2.当y-2=0时，将b=-2,c=2代入（*）式得x=0,适合。
b=-2,c=2为所求。
f(x)=
f(x)=
2）f（x）在x∈［-1，1］上是减函数。
证明：设-1≤x1则f(x2)-f(x1)=lg=lg
lg.而(x22-x2+1)(x12+1)-(x12-x1+1)(x22+1) =x1x2(x2-x1)-(x2-x1) =x2-x1)(x1x2-1),又∵x2>x1,∴x2-x1>0.
又|x1|≤1,|x2|≤1,由x1≠x2,∴|x1||x2|≤1.∴-1≤x1x2<1,∴x1x2-1<0.∴0<(x22-x2+1)(x12+1)<(x12-x1+1)(x22+1).
∴0<<1.
f(x2)-f(x1) =lg<0.即f(x2)17.已知函数。
（ⅰ）若为奇函数，求的值；
（ⅱ）若在上恒大于0，求的取值范围。
解：（ⅰ的定义域关于原点对称。
若为奇函数，则 ∴
在上∴在上单调递增。
在上恒大于0只要大于0即可，若在上恒大于0，的取值范围为。
18. 已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数是奇函数又知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值。
证明：； 求的解析式；
求在上的解析式。
解：∵是以为周期的周期函数，∴，又∵是奇函数，∴，
当时，由题意可设，由得，∴，
∵是奇函数，∴，又知在上是一次函数，∴可设，而，∴，当时，，从而当时，，故时，.∴当时，有，∴.当时，，∴
19. 设函数，且在闭区间上，只有。
（ⅰ）试判断函数的奇偶性；
（ⅱ）试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论。
解：（ⅰ方法一：若是偶函数，则。
于是有，这与在闭区间上，只有矛盾。
故不是偶函数；
若是奇函数，则，这与在闭区间上，只有矛盾，故若不是奇函数。
所以既不是偶函数，也不是奇函数。
方法二：因为在闭区间上，只有故，即不是奇函数。
又由知，，而，所以，又。
所以，可见不是偶函数。
所以既不是偶函数，也不是奇函数。
ⅱ）方法一：因为，，所以，即。所以，即。
又，所以和都是方程的根。由和及得到。
故方程在闭区间上的根至少有802个。
如果存在使得，则。但，这与在闭区间上，只有矛盾。故在上只有两个根，即和。
设是方程在闭区间上任意一个根，则存在整数，使得，且，由上可知或，所以或（），所以故方程在闭区间上仅有802个根。
方法二：由。
知是周期为10的函数，由知的图象关于直线对称。又因为在上仅有所以在上没有根，即在上只有两个根，即和。于是，在内只有400个根，在上仅有2个根，在内仅有400个根，在上没有根。
所以故方程在闭区间上仅有802个根。
20. 定义在r上的函数，，当x＞0时，，且对任意的a、b∈r，有f（a+b）=f（a）·f（b）.
1）求证：f（0）=1；
2）求证：对任意的x∈r，恒有f（x）＞0；
3）求证：f（x）是r上的增函数；
4）若f（x）·f（2x－x2）＞1，求x的取值范围。
分析：抽象函数问题要充分利用“恒成立”进行“赋值”，从关键等式和不等式的特点入手。
解：（1）证明：令a=b=0，则f（0）=f 2（0）.又f（0）≠0，∴f（0）=1.
2）证明：当x＜0时，－x＞0，∴f（0）=f（x）·f（－x）=1.∴f（－x）=＞0.又x≥0时f（x）≥1＞0，∴x∈r时，恒有f（x）＞0.
3）证明：设x1＜x2，则x2－x1＞0.∴f（x2）=f（x2－x1+x1）=f（x2－x1）·f（x1）.
∵x2－x1＞0，∴f（x2－x1）＞1.又f（x1）＞0，∴f（x2－x1）·f（x1）＞f（x1）.∴f（x2）＞f（x1）.
∴f（x）是r上的增函数。
4）解：由f（x）·f（2x－x2）＞1，f（0）=1得f（3x－x2）＞f（0）.又f（x）是r上的增函数，∴3x－x2＞0.∴0＜x＜3.
函数的基本性质
单调性，奇偶性，最值，周期性。例1 证明函数f x 3x 2在r上是增函数。证明 设任意x1 x2 r，且x1 x2，则f x1 f x2 3x1 2 3x2 2 3 x1 x2 由x1 x2得x1 x2 0.f x1 f x2 0，即f x1 f x2 f x 3x 2在r上是增函数。例2 证明函...
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高考成绩的取得 于平时对基础知识的巩固 审题及计算能力的培养 解题思想及方法的总结。胶南五中2011 2012学年度第一学期高三数学 文科 学案命题人 崔伟审核人 周斌。使用时间年月日二次批阅时间班级 姓名 课题函数及其基本性质编号 18 学习要求 1 了解映射的概念，理解函数的概念 数学探索版权所...
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第一章 函数的基本性质 复习。复习目标 知识与技能 理解函数的单调性 奇偶性的含义，会讨论和证明一些简单函数的单调性，会判断函数的奇偶性。过程与方法 通过合作 解决函数的基本性质的应用问题。情感态度与价值观 学生激情投入，增强学生的合作意识。使用说明及方法指导 1 用15 20分钟的时间阅读教材27...