【知识精要】
一、函数的奇偶性。
1、定义：如果对于函数定义域内的任意都有，则称为奇函数；如果对于函数定义域内的任意都有，则称为偶函数。
注意】（1）函数的奇偶性是函数的整体性质，函数的奇偶性要求：对于函数定义域内的任意都有（或），即要求“全票通过”；若有例外，则可“一票否决”.判断函数奇偶性首先判断函数定义域是否关于原点对称。
2）由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要（前提）条件是，对于定义域内的任意一个，则也一定是定义域内的一个实数（即定义域关于原点对称）.
例1】（1）已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )
abcd．－
2）已知函数的图象关于轴对称，则实数的值是。
2、简单性质：
1）图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于轴对称；
2）若奇函数在处有意义，则必有；
3）若函数既是奇函数，又是偶函数，则解析式为，由于定义域（可以是任意一个关于原点对称的集合）不确定，这样的函数仍有无穷多。
4）是偶函数，则．
例2】（1）函数为奇函数，则实数。
2）若是奇函数，则。
3）设定义在上的偶函数在区间上单调递减，若，求实数的取值范围．
例3】函数的部分图象大致是下图中的（ ）
a. b. c. d.
例4】设是连续的偶函数，且当时，是单调的函数，则满足的所有的x的和为。
5）设，的定义域分别是，，那么在它们的公共定义域上：奇函数奇函数是奇函数；奇函数奇函数是偶函数；
偶函数偶函数是偶函数；奇函数偶函数是奇函数。
二、函数的单调性。
1、定义：一般地，设函数的定义域为， 如果对于定义域内的某个区间内的任意两个自变量的值，当时，都有（），那么就说在区间上是增函数（减函数）；如果函数在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间叫做的单调区间。
注意】（1）函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质，因此，函数的单调区间一定是函数定义域的子集，因此求函数单调区间应先确定函数定义域。
例3】（1）函数单调增区间为。
2）已知函数，则关于x的不等式的解集为（ ）
a. b. c. d.
2）必须是对于区间内的任意两个自变量，“全票通过”，无一例外；对于在函数无意义的点两侧单调性相同的区间，也不能写成并集，如函数。
3）函数单调性定义的等价形式：若函数在区间上满足（），则函数在区间上是增（减）函数。
例4】已知函数满足对任意x1≠x2，都有成立，则a的取值范围是___
4）奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。
2、复合函数单调性的判断方法：
当和单调性相同的时候，是增函数； 当和单调性相反的时候，是减函数。简称“同增异减”.可以利用函数和来理解。
三、函数的周期性。
1、定义：如果存在一个非零常数，使得对于函数定义域内的任意的值，都有，则称为周期函数，其中是函数的一个周期。
2、性质：（1）常常写作若的周期中，存在一个最小的正数，则称它为的最小正周期；
2）若周期函数的周期为，则是周期函数，且周期为；
3）若周期函数的周期为，则也是函数的周期；
4）若函数满足（特别地，），或者（特别地，或），则函数是以为周期的周期函数；
四、对称性。
1）函数的图像关于y轴对称：；
2）函数的图像关于原点对称：；
3）函数的图像关于直线对称：或；
4）函数的图像关于点对称：或。
例5】设是上的奇函数，，当时，，则=__
例6】已知函数f(x)是偶函数，并且对于定义域内任意的x，满足f(x＋2)＝－若当2【例7】已知定义在r上的函数f(x)是偶函数，对x∈r，f(2＋x)＝f(2－x)，当f(－3)＝－2时，f(2015)的值为___
例8】已知函数是上的奇函数，且为偶函数．若，则 ．
例9】已知定义在上的奇函数，满足，且在区间上是增函数，若方程（）在区间上有四个不同的实数根，，，则它们的和为（ ）
a．-6b．-8c．0d．2
例10】已知函数满足，若函数与图象的交点为，，，则（ ）
a．0b． cd．
习题精选】1、下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞当x1f(x2)”的是（ ）
a．f(x)＝ b．f(x)＝(x－1)2 c．f(x)＝ex d．f(x)＝ln(x＋1)
2、若是上周期为的奇函数，且满足，，则( )
a．－1 b．1 c.－2 d．2
3、下列函数中是奇函数的有（ ）个。
a.1 b．2 c．3 d．4
4、函数的图像关于（ ）对称。
a．轴 b．直线 c．坐标原点 d．直线。
5、定义在r上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞x1≠x2)，有<0，则下列结论正确的是（ ）
a. f(3)6、若函数是偶函数，则实数的值为___
7、设是定义在上的奇函数，若当时，，则___
8、设是周期为2的奇函数，当时，，则___
9、已知函数f(x)是(－∞上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2015)＋f(2016)的值为___
10、设f(x)是定义在r上的奇函数，且f(x＋3)·f(x)＝－1，f(－1)＝2，则f(2015
11、已知是定义在上的奇函数，当时，（为常数）则___
12、已知函数是偶函数，且在上是减函数，若，则的取值范围是。
13、已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则实数的取值范围是。
14、函数的单调增区间是。
15、有如下几个结论：
若函数满足：则2为的一个周期，若函数满足：则为的一个周期，若函数满足：则为偶函数，若函数满足：则为函数的图像的对称中心．
正确的结论为___填上正确结论的序号）
16、已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是。
17、若函数在区间[2，＋∞上是增函数，求实数a的取值范围．
思考：将区间改为呢？ ）
18、（1）已知函数是定义在r上的偶函数，当时，，求当时，的解析式。
2）已知f(x)是r上的奇函数，且当时，f(x)＝－xlg(2－x)，求f(x)的解析式．
函数的基本性质
函数的基本性质2011.07 班级姓名学号成绩。一。填空题。1.函数y 3 的值域是。答案 2 提示 y 3 当x 1时，ymax 2.又在 1，中是增函数，因此y无最小值，故y 2 2.函数y x 1 的最小值是。答案 2.提示 y x 1 2 2 当且仅当x 时等号成立 3.函数y 的值域为。答...
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