单调性，奇偶性，最值，周期性。
例1 证明函数f (x) =3x +2在r上是增函数。
证明】设任意x1、x2 r，且x1＜x2，则f (x1) –f (x2) =3x1 +2) –3x2 +2) =3(x1–x2).
由x1＜x2得x1 –x2＜0. ∴f (x1) –f (x2)＜0，即f (x1)＜f (x2).
f (x) =3x +2在r上是增函数。
例2 证明函数f (x) =在（0，+∞上是减函数。
证明】设任意x1、x2 (0，+ 且x1＜x2，则f (x1) –f (x2) =由x1，x2 (0，+∞得，x1x2＞0，又x1＜x2，得x2 – x1＞0，f (x1) –f (x2) ＞0，即f (x1)＜f (x2).
f (x) =在（0，+∞上是减函数。
例1 已知函数f (x ) x∈[1，+∞
ⅰ）当a =时，求函数f (x)的最小值；
ⅱ）若对任意x∈[1，+∞f (x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围。
分析：对于（1），将f (x)变形为f (x) =x +2 + x ++2，然后利用单调性求解。 对于（2），运用等价转化(x [1，+∞恒成立，等价于x2 + 2x + a＞0 恒成立，进而解出a的范围。
解：（1）当a =时，f (x) =x ++2
因为f (x)在区间[1，+∞上为增函数，所以f (x)在区间[1，+∞上的最小值为f (1) =
2）解法一：在区间[1，+∞上，f (x) =恒成立x2 + 2x + a＞0恒成立。
设y = x2 +2x+a，∵(x + 1) 2 + a –1在[1，+∞上递增。
当x =1时，ymin =3 + a，于是当且仅且ymin =3 + a＞0时，函数f (x)＞0恒成立，a＞–3.
解法二：f (x) =x ++2 x[1，+∞
当a≥0时，函数f (x)的值恒为正；当a＜0时，函数f (x)递增。 故当x =1时，f (x)min = 3+a.
于是当且仅当f (x)min =3 +a＞0时，函数f (x)＞0恒成立。 故a＞–3.
例2 已知函数f (x)对任意x，y r，总有f (x) +f ( y) =f (x + y)，且当x＞0时，f (x)＜0，f (1) =
1）求证f (x)是r上的减函数；
2）求f (x)在[–3，3]上的最大值和最小值。
分析：抽象函数的性质要紧扣定义，并同时注意特殊值的应用。
证明：（1）令x = y =0，f (0) =0，令x = y可得： f (–x) =f (x)，在r上任取x1＞x2，则f (x1) –f (x2) =f (x1) +f (–x2) =f (x1–x2).
x1＞x2，∴x1–x2＞0. 又∵x＞0时，f (x)＜0，∴f (x1–x2)＜0， 即f (x1) –f (x2)＞0.
由定义可知f (x)在r上为单调递减函数。
2）∵f (x)在r上是减函数，∴f (x)在[–3，3]上也是减函数， ∴f (–3)最大，f (3)最小。
f (3) =f (2) +f (1) =f (1) +f (1) +f (1) =3×()2. ∴f (–3) =f (3) =2.
即f (–3)在[–3，3]上最大值为2，最小值为–2.
例2 （1）设f (x)是偶函数，g (x)是奇函数，且f (x) +g (x) =求函数f (x)，g (x)的解析式；
2）设函数f (x)是定义在(–∞0)∪(0，+∞上的奇函数，又f (x)在(0，+∞上是减函数，且f (x)＜0，试判断函数f (x) =在(–∞0)上的单调性，并给出证明。
解析：（1）∵f (x)是偶函数，g (x)是奇函数，f (–x) =f (x)，g (–x) =g (x)，由f (x) +g (x
用–x代换x得f (–x) +g (–x) =f (x) –g (x
① +2 = 得f (x2 = 得g (x) =
2）f (x)在（–∞0）是中增函数，以下进行证明：
设x1，x2
例。七、已知函数f (x), g (x)在 r上是增函数，求证：f [g (x)]在 r上也是增函数。
证：任取 x1, x r 且 x1 < x2
g (x) 在r上是增函数 ∴g (x1) 又∵f (x) 在r上是增函数 ∴f [g (x1)] f [g (x2)]
而且 x1 < x2f [g (x)] 在r上是增函数。
例。八、函数 f (x)在 [0,上单调递减，求的递减区间。
解：f (x) 定义域：[0,
又∵≥0 ∴只要 1 x2≥0 即 x2≤1 ∴ 1 ≤ x ≤ 1
当 x [ 0, 1] 时， u =关于 x 递增， f (u)关于 x 递减
单调区间为 [1，0]
例。十、判断的奇偶性。
解：∵ 函数的定义域为 r
且 f (x) +f (x)
f (x) =f (x) ∴f (x) 为奇函数。
例3．判断下列函数的奇偶性：
分析：先验证函数定义域的对称性，再考察．
解：（1）＞0且＞=＜它具有对称性．因为，所以是偶函数，不是奇函数．
2）当＞0时，－＜0，于是。
当＜0时，－＞0，于是。
综上可知，在r－∪r+上，是奇函数．
函数的基本性质
函数的基本性质2011.07 班级姓名学号成绩。一。填空题。1.函数y 3 的值域是。答案 2 提示 y 3 当x 1时，ymax 2.又在 1，中是增函数，因此y无最小值，故y 2 2.函数y x 1 的最小值是。答案 2.提示 y x 1 2 2 当且仅当x 时等号成立 3.函数y 的值域为。答...
函数的基本性质
高考成绩的取得 于平时对基础知识的巩固 审题及计算能力的培养 解题思想及方法的总结。胶南五中2011 2012学年度第一学期高三数学 文科 学案命题人 崔伟审核人 周斌。使用时间年月日二次批阅时间班级 姓名 课题函数及其基本性质编号 18 学习要求 1 了解映射的概念，理解函数的概念 数学探索版权所...
函数的基本性质
第一章 函数的基本性质 复习。复习目标 知识与技能 理解函数的单调性 奇偶性的含义，会讨论和证明一些简单函数的单调性，会判断函数的奇偶性。过程与方法 通过合作 解决函数的基本性质的应用问题。情感态度与价值观 学生激情投入，增强学生的合作意识。使用说明及方法指导 1 用15 20分钟的时间阅读教材27...