第1课时函数的单调性。
如图1-3-1-2所示为一次函数y=x，二次函数y=x2和y=-x2的图象，它们的图象有什么变化规律？这反映了相应的函数值的哪些变化规律？
图1-3-1-2
如何理解图象是上升的？
在数学上规定：函数y=x2在区间(0,+∞上是增函数。
一般地，设函数f(x)的定义域为i:如果对于定义域i内某个区间d上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1⑥增函数的定义中，把“当x1x2时，都有f(x1)>f(x2)”,这样行吗？
增函数的定义中，“当x1⑧增函数的几何意义是什么？ 从左向右看，图象是上升的。
类比增函数的定义，请给出减函数的定义及其几何意义？
一般地，设函数f(x)的定义域为i，如果对于定义域i内某个区间d上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间d上是减函数。
应用示例。例1如图1-3-1-3是定义在区间［－5，5］上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
图1-3-1-3
注意：图象法求函数单调区间的步骤是第一步：画函数的图象；第二步：观察图象，利用函数单调性的几何意义写出单调区间。
变式训练。例2（1）画出已知函数f(x)=-x2+2x+3的图象；
2）证明函数f(x)=-x2+2x+3在区间(-∞1］上是增函数；
3）当函数f(x)在区间(-∞m］上是增函数时，求实数m的取值范围。
图1-3-1-4
解：（1）函数f(x)=-x2+2x+3的图象如图1-3-1-4所示。
2)设x1、x2∈(-1］，且x1f(x1)-f(x2)=(x12+2x1+3)-(x22+2x2+3)
(x22-x12)+2(x1-x2)
(x1-x2)(2-x1-x2).
x1、x2∈(-1］，且x1∴2-x1-x2>0.∴f(x1)-f(x2)<0.∴f(x1)∴函数f(x)=-x2+2x+3在区间(-∞1］上是增函数。
3）函数f(x)=-x2+2x+3的对称轴是直线x=1，在对称轴的左侧是增函数，那么当区间(-∞m］位于对称轴的左侧时满足题意，则有m≤1，即实数m的取值范围是(-∞1］.
例3物理学中的玻意耳定律p=（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积v减少时，压强p将增大。试用函数的单调性证明。
注意：. 2．证明方法和步骤：
1） 设元：设是给定区间上任意两个值，且；
2） 作差：；
3） 变形：（如因式分解、配方等）；
4） 定号：即；
5） 根据定义下结论。
【补充练习】
2.已知函数y=kx+2在r上是增函数，求实数k的取值范围。
答案：k∈(0,+∞
3.二次函数f(x)=x2-2ax+m在(-∞2)上是减函数，在(2,+∞上是增函数，求实数a的值。
答案：a=2.
4.2023年全国高中数学联赛试卷，8已知f(x)是定义在(0,+∞上的减函数，若f(2a2+a+1)分析：∵f(x)的定义域是(0,+∞解得a《或a>1.
f(x)在(0,+∞上是减函数，2a2+a+1>3a2-4a+1.∴a2-5a<0.
0答案：(0,)∪1,5)
1.3.2 奇偶性。
提出问题。如图1-3-2-1所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性。
图1-3-2-1
那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y轴对称呢？填写表1和表2，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？表1表2
请给出偶函数的定义？
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数。
偶函数的图象有什么特征？偶函数的图象关于y轴对称。
函数f(x)=x2,x∈［-1,2］是偶函数吗？
偶函数的定义域有什么特征？偶函数的定义域关于原点轴对称。
观察函数f(x)=x和f(x)=的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)就叫做奇函数。奇函数的图象关于原点中心对称，其定义域关于原点轴对称。
例1判断下列函数的奇偶性：
1）f(x)=x4；（2）f(x)=x5；（3）f(x)=x+；（4）f(x)=.
注意：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
确定f(-x)与f(x)的关系；
作出相应结论：
若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数；
若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数。
变式训练。2006辽宁高考，理2设f(x)是r上的任意函数，则下列叙述正确的是( )
是奇函数是奇函数。
是偶函数是偶函数。
例22006上海春季高考，6已知函数f(x)是定义在(-∞上的偶函数。当x∈(-0)时，f(x)=x-x4，则当x∈(0,+∞时，f(x
答案：-x-x4
变式训练。已知函数f(x)是定义在r上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2+，求f(x).
解：当x=0时，f(-0)=-f(0)，则f(0)=0；
当x<0时，-x>0，由于函数f(x)是奇函数，则。
f(x)=-f(-x)=-x)2+］=x2+，综上所得，f(x)=
补充练习］1.2007上海春季高考，5设函数y=f(x)是奇函数。若f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3，则f(1)+f(2)=_
分析：∵函数y=f(x)是奇函数，∴f(-2)=-f(2),f(-1)=-f(1).
-f(2)-f(1)-3=f(1)+f(2)+3.
2［f(1)+f(2)］=6.∴f(1)+f(2)=-3.
答案：-3是偶函数，定义域为［a－1，2a］，则ab
分析：∵偶函数定义域关于原点对称，答案： 0
综合习题：课堂巩固。
1．(2008全国高考卷ⅱ，理3文4)函数f(x)＝－x的图象关于( )
a．y轴对称 b．直线y＝－x对称 c．坐标原点对称d．直线y＝x对称。
2．设f(x)是定义在r上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)等于( )
a．1 b. c．－1 d．－
3．设f(x)是r上的偶函数，且在(0，＋∞上是减函数，若x1＜0且x1＋x2＞0，则( )
a．f(－x1)＞f(－x2) b．f(－x1)＝f(－x2)
c．f(－x1)＜f(－x2) d．f(－x1)与f(－x2)大小不确定。
4．已知f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在(2,5)上是( )
a．增函数．减函数c．有增有减d．增减性不确定。
5．已知f(x)＝ax7－bx＋2且f(－5)＝17，则f(5
6．若f(x)是偶函数，当x∈[0，＋∞时，f(x)＝x－1，则f(x－1)＜0的解集是。
7．(2008上海高考，文9)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a、b∈r)是偶函数，且它的值域为(－∞4]，则该函数的解析式f(x
8．判断下列函数的奇偶性：
1)f(x)＝；2)f(x)＝a(x∈r)；(3)f(x)＝
9．已知函数f(x)＝x2－2|x|.
1)判断并证明函数的奇偶性；
2)判断函数f(x)在(－1,0)上的单调性并加以证明．
1．f(x)是偶函数，且在(0，＋∞上为增函数，则a＝f(－)b＝f()，c＝f()的大小关系是……(
a．b2．函数f(x)＝是( )
a．奇函数 b．偶函数 c．既是奇函数又是偶函数 d．既不是奇函数又不是偶函数。
3.若奇函数f(x)在(0，＋∞上是增函数，又f(－3)＝0，则等于( )
a． b．c． d．
4．已知定义在r上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为( )
a．－1 b．0 c．1 d．2
10．如果奇函数f(x)在区间[2,7]上是增函数，且最大值为10，最小值为6，那么f(x)在[－7，－2]上是增函数还是减函数？求函数f(x)在[－7，－2]上的最大值和最小值．
11．已知函数f(x)＝.
1)判断f(x)的奇偶性．
2)确定f(x)在(－∞0)上是增函数还是减函数？在区间(0，＋∞上呢？请证明你的结论．
1．c ∵x∈(－0)∪(0，＋∞且对定义域内每一个x，都有f(－x)＝－x＝－f(x)，该函数f(x)＝－x是奇函数，其图象关于坐标原点对称．
2．c ∵f(x)是奇函数，∴f(－2)＝－f(2)＝－22－3)＝－1.
函数的基本性质
函数的基本性质2011.07 班级姓名学号成绩。一。填空题。1.函数y 3 的值域是。答案 2 提示 y 3 当x 1时，ymax 2.又在 1，中是增函数，因此y无最小值，故y 2 2.函数y x 1 的最小值是。答案 2.提示 y x 1 2 2 当且仅当x 时等号成立 3.函数y 的值域为。答...
函数的基本性质
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