第5讲函数性质的综合应用。
一、高考要求。
函数的综合应用在高考中的分值大约为20分左右，题型的设置有小题也有大题，其中大题有简单的函数应用题、函数与其它知识综合题，也有复杂的代数推理题，可以说函数性质的综合应用是高考考查的主要着力点之一．
二、两点解读。
重点：①函数的奇偶性、单调性和周期性；②函数与不等式结合；③函数与方程的综合；④函数与数列综合；⑤函数与向量的综合；⑥利用导数来刻画函数．
难点：①新定义的函数问题；②代数推理问题，常作为高考压轴题．
三、课前训练。
1．已知ar，函数，xr为奇函数，则 （ b ）
a）－1 （b）0 （c）1 （d）
2． “是“函数在区间上为增函数”的（ a ）
a）充分不必要条件 （b）必要不充分条件
c）充要条件d）既不充分也不必要条件。
3．若函数的定义域、值域都是闭区间，则的值为 2
4．已知，，则 -8 ．
四、典型例题。
例1 设函数是定义在r上的以3为周期的奇函数，若，则的取值范围是。
a） （b）且 （c）或（d）
解：∵以3为周期，所以，又是r上的奇函数，，则，再由，可得，即，解之得，故选d
例2 设是函数的反函数，则使。
成立的x的取值范围为。
（a） （b） （c） （d）
解：∵是r上的增函数，∴，即x > f(1).
又，∴，故选a．
例3 已知函数，若方程有两个相等的实根，则函数。
f(x)的解析式为。
解：∵，方程即为，则．因为方程有两个相等的实数根，所以b = 4时x=0，符合题意．∴
例4 对a，br，记函数（xr）
的最小值是。
解： 化简得：
在坐标系中作出的图象，可知：当，时为增函数，；当，时为减函数。∴。综上，
例5 对定义域是，的函数，，规定：
函数。ⅰ）若函数，，写出函数的解析式；
ⅱ）求问题（1）中函数的值域；
ⅲ）若，其中是常数，且，请设计一个定义域为r的函数，及一个的值，使得，并予以证明．
解：(ⅰⅱ) 当≠1时， =1）++2 ．①若》1时， 则≥4，其中等号当时成立；②若<1时， 则≤ 0，其中等号当=0时成立．所以函数的值域是(∞，0] 4，+∞
ⅲ)令，则，．
例6 设，若，，求证：
ⅰ）方程有实根，且；
ⅱ）设是方程的两个实根，则；
ⅲ）方程在（0，1）内有两个实根．
解：（ⅰ若，则，，与已知矛盾，∴．方程=0的判别式由条件，消去b，得，故方程有实根．由，得，由条件消去，得，故．
ⅱ）由条件知，，∴
∵，所以，故．
ⅲ）抛物线的顶点坐标为（
在的两边乘以，得<<，又因为f(0)>0，f(1)＞0，而f()=所以方程在区间（（内分别有一实根．故方程在内有两个实根。
函数性质的综合应用
教学目标 1 熟练掌握函数奇偶性 单调性以及最值的定义与运用 2 会利用函数的单调性 奇偶性解决一些简单的综合性问题。教学重点 函数单调性 奇偶性，函数最值问题的综合讨论。教学难点 综合问题的思路分析与运用，解题策略的确定。教学过程 一 函数的奇偶性 单调性 最值定义回顾。1 奇偶性。一般地，如果对...
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函数性质的应用
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