1.1函数的性质。
高考试题鉴赏 2012山东卷】
定义在r上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x<－1时，f(x)＝－x＋2)2；
当－1≤x<3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…f(2 012)＝(
a．335 b．338 c．1 678 d．2 012
热点一：函数的单调性与奇偶性。
例1:(2013玉溪一中月考)已知函数，则的大小关系是。
ab、cd、
解】b因为函数为偶函数，所以，，当时，，所以函数在递增，所以有，即，选b.
变式1】(2013北京东城月考) 已知函数在上是增函数，若，则的取值范围是。
a． bc． d．
解】b 因为，所以函数为偶函数，因为函数在上是增函数，所以当时，，此时为减函数，所以当，函数单调递增。因为，所以有，解得，即，选b.
变式2】(2013枣庄月考) 已知为奇函数，在上是增函数，上的最大值为8，最小值为，则等于。
a． b． c． d．
解】a 因为函数在上是增函数，所以，，又因为函数为奇函数，所以，选a.
热点二：对称性与周期性。
例2：(2013烟台模拟)已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为（ ）
a． b． c．1 d．2
答案】c解析】由函数是上的偶函数及时得故选c.
变式3】 已知，方程在［0，1］内有且只有一个根，则在区间内根的个数为。
a.2011 b.1006c.2013d.1007
答案】c解析】由，可知，所以函数的周期是2，由可知函数关于直线对称，因为函数在［0，1］内有且只有一个根，所以函数在区间内根的个数为2013个，选c.
变式4】 定义在上的函数满足且时，则（ ）
a． b． c． d．
答案】c解析】由可知函数为奇函数，且，所以函数的周期为4，，，即，所以，因为，所以，所以，选c.
热点三：函数综合问题。
例3：已知函数为偶函数．
1）求实数的值；
2）记集合，判断与的关系；
3）当时，若函数的值域为，求的值。
解】: 为偶函数
r且4分。ⅱ）由（ⅰ）可知：
当时，；当时，
6分。变式5】已知函数在区间上的最大值为，最小值为，记。
1) 求实数的值；
2) 若不等式成立，求实数的取值范围；
3) 定义在上的一个函数，用分法：将区间任意划分成个小区间，如果存在一个常数，使得和式恒成立，则称函数为在上的有界变差函数。 试判断函数是否为在上的有界变差函数？
若是，求的最小值；若不是，请说明理由。(参考公式：)
1)，因为，所以在区间上是增函数，故，解得。 …4分。
(2)由已知可得为偶函数，所以不等式可化为，解得或7分。
3)函数为上的有界变差函数9分。
因为函数为上的单调递增函数，且对任意划分：，有，所以，所以存在常数，使得恒成立，所以的最小值为13分。
备选练习题】
1.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )
a．y＝x＋1 b．y＝－x3 c．y＝ d．y＝x|x| 【答案】d
2．若f(x)＝，则f(x)的定义域为( )
ab. cd．(0，＋∞
解】ａ 根据题意得(2x＋1)>0，即0<2x＋1<1，解得x∈.
3.设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝2x－x，则有( )
a．fc．f【解】b f′(x)＝2xln 2－1，当x≥1时，f′(x)＝2xln 2－1≥2ln 2－1＝ln 4－1>0，故函数f(x)
在[1，＋∞上单调递增．又f＝f＝f，f＝f＝f， <故f4.已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是( )
ab． cd．
解】c 因为互不相等，不妨设，则，由知关于直线对称，所以。由，知，所以，选c.
5.设函数f(x)＝若f(x)＝1，则x
解】当x≤1时，由|x|－1＝1，得x＝±2，故可得x＝－2；当x>1时，由2－2x＝1，得x＝0，不适合题意．故x＝－2.
6.已知函数y＝f(x)是定义在r上的增函数，函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，若对任意的x，y∈r，不等式f(x2＋6x＋21)＋f(y2－8y)<0恒成立，则的取值范围是___
解析：∵函数y＝f(x－1)的图象关于(1,0)对称，函数y＝f(x)的图象关于(0,0)对称，即函数y＝f(x)为奇函数．
又不等式f(x2＋6x＋21)＋f(y2－8y)<0恒成立，即f(x2＋6x＋21)∵函数y＝f(x)在r上为增函数，x2＋6x＋21<8y－y2，即(x＋3)2＋(y－4)2<4.
表示圆面上的点到原点的距离，5－2<<5＋2，即的取值范围是(3,7)．
7.已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)在区间[2，3]上有最大值5，最小值2.
1)求a，b的值；
2)若b<1，g(x)＝f(x)－2mx在[2，4]上单调，求m的取值范围．
解：(1)f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a.
当a>0时，f(x)在[2,3]上为增函数，故。
当a<0时，f(x)在[2,3]上为减函数，故。
2)∵b<1，∴a＝1，b＝0，即f(x)＝x2－2x＋2，g(x)＝x2－2x＋2－2m·x＝x2－(2＋2m)x＋2.
若g(x)在[2,4]上单调，则≤2或≥4，2m≤2或2m≥6，即m≤1或m≥log26.
专题1函数的性质
函数的性质。性质一奇 偶性。1.定义域为r的四个函数y x3,y 2x,y x2 1,y 2sin x中，奇函数的个数是。a.4 b.3 c.2 d.1 解析 选c.由奇函数的概念可知y x3,y 2sin x是奇函数。2 2014 湖南高考理科 3 已知分别是定义在r上的偶函数和奇函数，且 a 3...
专题二函数的性质
专题二函数的定义及其性质。一 知识点总结 一 函数的概念与表示。1 函数 非空数集，集合a中的每一个在b中一个与之对应。2 构成函数概念的三要素。两个函数是同一个函数的条件 三要素有两个相同。二 函数的解析式与定义域 值域。1 求函数定义域的主要依据 1 分式的分母2 偶次方根的被开方数。3 零次幂...
专题2 函数的性质
2 掌握 研究一个函数的主要内容及一般方法。3 能灵活运用函数的性质解决相关问题。例1 已知函数 常数 1 讨论函数的奇偶性，并说明理由 2 若函数在上为增函数，求a的取值范围。例2 已知函数 为常数 1 当时，求的定义域，并讨论它的奇偶性与单调性 2 当时，证明方程有唯一解 3 当时，解不等式。例...