专题二函数的定义及其性质。
一、知识点总结:
一)函数的概念与表示。
1、函数:非空数集,集合a中的每一个在b中一个与之对应。
2、构成函数概念的三要素。
两个函数是同一个函数的条件:三要素有两个相同。
二)、函数的解析式与定义域、值域。
1、求函数定义域的主要依据:
1)分式的分母2)偶次方根的被开方数。
3)零次幂式底数4)对数函数的真数。
5)指数函数和对数函数的底数6)与实际有关的必须。
7)有多个式子组成,取每个式子有意义的取值范围的集。
2、复合函数的定义域:
1)已知的定义域为,求的定义域,则满足。
2)已知的定义域为,求的定义域,则满足。
3、求解析式的方法:
1)、待定系数法;(2)凑项法;(3)换元法;(4)方程组法。
4、值域:1)观察法;(2)配方法;(3)图象法;(4)单调性法;(5)有界法;(6)分离常数法。
三).函数的奇偶性。
1.定义:
设,如果对于任意,都有则称设为偶函数。
设,如果对于任意,都有则称为奇函数。
2.性质:1)奇偶函数的定义域关于对称; (2)偶函数的图象关于对称;
3)奇函数的图象关于对称;(4)若奇函数在原点有意义,则必有= 。
5)奇±奇= 偶±偶= 奇×奇= 偶×偶= 奇×偶= (两函数的定义域d1 ,d2,d1∩d2要关于原点对称)
3.奇偶性的判断。
1 看定义域是否关于原点对称看与的关系。
4、多项式函数的奇偶性。
多项式函数是奇函数的偶次项(即奇数项)的系数全为零。
多项式函数是偶函数的奇次项(即偶数项)的系数全为零。
四)、函数的单调性。
1)设那么四个字总结。
上是增函数;
上是减函数。
2)在定义域内:
增+增= ;增—减= ;减+减= ;减—增。
3)复合函数的单调性:
如果函数和,则在其对应的定义域上单调性满足。
二、典例分析:
1、求下了函数的定义域。
2、(1)已知函数的定义域为,求函数的定义域。
2)已知函数的定义域为,求函数的定义域。
3)已知函数的定义域为,求函数的定义域。
3、(1)已知是一次函数,且满足,求。
2)已知函数,求函数。
3)定义域为r的函数f(x)满足,求。
4、证明函数在区间是单调递减函数。
5、已知函数在r上是奇函数,求当,求函数的解析式。
6、已知。1)若,求。(2)若,且,求实数的取值。
3)若函数是上的减函数,那么的取值范围是
7、函数对任意的,都有,并且当时,,(1)求;(2) 求证:在上是奇函数;(3)求证:在上是减函数;
4)若,解不等式
三、达标检测:
1.集合a=,b=,下列不表示从a到b的函数是( )
a. b. c. d.
2、函数y=+的定义域是( )
a.(-1,1b.[0,1] c.[-1,1d.(-1)(1,+)
3、函数在区间上的最大值和最小值分别是( )
abcd.
4、函数的图象与直线的交点个数有( )
a. 必有一个 b.一个或两个 c.至多一个d.可能两个以上。
5、下列函数中值域是(0,+ 的是( )
a. b. c. d.
6、设函数,则。
a.0 bcd.
7、在区间(0,+∞上不是增函数的是。
ab cd.
8、函数,是。
a.偶函数 b.奇函数c.非奇非偶函数d.与有关。
9、下列各对函数中,相同的是。
ab、 c、 d、
10、奇函数的定义域为,且对任意正实数,恒有,则。
a. bcd.
11、如果函数是奇函数,且,则必有( )
a. b. c . d.
12、函数是r上的偶函数,且在(-∞上是减函数,若,则实数a的取值范围是( )
a.a≤2 b.a≤-2或a≥2c.a≥-2d.-2≤a≤2
13、如果奇函数y=f(x)在区间[3,7]上是增函数,且最小值为5,则在区间[-7,-3]上( )
a.增函数且有最小值-5 b. 增函数且有最大值-5
c.减函数且有最小值-5 d.减函数且有最大值-5
13、函数的定义域是( )
abcd、14、 已知函数,则。
15、函数的定义域为。
16、函数的单调增区间是___
17、若奇函数满足,,则___
18、设函数的定义域为,则函数的定义域为_ _
19、若函数的定义域为,则函数的定义域是。
20、已知。
21、已知函数是定义在上的增函数,且,求的取值范围。
22、设与的定义域是, 是偶函数,是奇函数,且,求与的解析表达式。
23、求下列函数的值域:
24、已知定义域为的函数是奇函数。
ⅰ)求的值;
ⅱ)若对任意的,不等式恒成立,求的取值范围;
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