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摘要：若函数f(x)为凹函数，则。
若函数f(x)为凸函数，则。
从而使一些重要不等式的证明更简明。
中图分类号文献标识号文章编号：
高二数学不等式，教材上只要求学生掌握两个数的均值不等式，教材上的阅读材料中，证明了三个数的均值不等式，从而推广到多个数的情形。学有余力的学生，会去证多个数的情形。仿照书上去证，几乎不可能。
下面介绍凹凸函数的性质，并用来证明之，较简便易行。
凹函数定义若函数f(x)上每一点的切线都在函数图像的下方，则函数f(x)叫做凹函数。如图（一）
凸函数定义若函数f(x)上每一点的切线都在函数图像的上方，则函数f(x)叫做凸函数。如图（二）
性质定理若函数f(x)是凹函数，则。
若函数f(x)是凸函数，则。
证明：若函数f(x)是凹函数，如下图。
点p（）在f(x)上。
设过p点的切线方程为：y=ax+b 则。
f(x) 是凹函数，切线在函数图像下方。
由（1），（2）得。
若函数f(x)为凸函数，如下图。
点p（）在f(x)上。
设过p点的切线方程为：y=ax+b 则。
f(x) 是凸函数，切线在函数图像上方。
由（1），（2）得。
定理证明过程要结合图像形象理解，也便于掌握。下面证明均值不等式和高斯不等式。
均值不等式： （
证明：∵ y=lgx 是凸函数。
∴ 即。高斯不等式： （
证明：∵ x>0)是凹函数。
∴ 即。以上两个不等式的证明，非常简明，下面再举几个性质定理应用的例子。
例1 a、b、c为三角形三内角，求证sina+sinb+sinc≤
证明：∵a、b、c为三角形三内角。
a+b+c=π a>0 b>0 c>0
又∵ y=sinx (0
即。sina+sinb+sinc≤
例2 求证。
证明：∵ 为凹函数。
例3 求证 （k∈）
证明：∵ k∈）为凹函数。
通过以上例子，可以看出，关键在于找到合适的凹函数或凸函数，再用性质定理，问题可得解决。
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