凸函数的性质

【摘自[前苏]克拉**西尔斯基等著《凸函数与奥尔里奇空间》（中译本）】

通常称函数在区间内是“下(上)凸函数”，若对于内任意两点和与任意，都满足“琴生(jesen)不等式”

或。其中和为正数且]

它的特别情形(取)是。

在§2-7中曾把它作为下(上)凸函数的定义。。我们将证明，对于连续函数来说，不等式(※※与琴生不等式(※)是等价的。正因为这样，我们在教科书中就用简单的不等式(※※定义了下(上)凸函数（因为我们研究的函数都是连续函数）。

下凸函数简称为凸函数，上凸函数简称为凹函数。请读者注意，这些称呼同国内某些教科书中的称呼是不一致的。但是，我们的上述称呼与新近出版的许多教科书或发表的**中的称呼是一致的。

因为函数的“上凸”与“下凸”是对偶的，所以，下面只讨论下凸函数的性质。相信读者一定能够把下面得出的结论，类比到上凸函数上。

）琴生不等式的几何意义我们先解释一下琴生不等式的几何意义。如图一，设，则（根据解析几何中的定比分点公式（*）根据琴生不等式(※※

[注意]从而，得不等式。

基本不等式）

它说明(见图一)，弦的斜率小于弦的斜率，而弦的斜率又小于弦的斜率。

二）凸函数的性质为简单起见，下面只讨论与我们的问题有关的凸函数的性质。

性质1 若在区间内是下凸函数，则。

在每一点都有左导数和右导数【因此（*）凸函数是连续函数】，而且；

左导数和右导数都是单调增大的函数。

证⑴ 设，并且满足不等式(图二)

根据基本不等式，则有。考虑函数。

根据上述不等式中最左边的不等式①，当时，函数是单增的且有上界，所以有极限。

类似地，根据最右边的②，函数。

当时是单减的且有下界，所以有极限。

根据中间一个不等式③，＜再让，得。

证⑵ 为证左、右导数都是单调增大的，譬如证是单调增大的。设，并取正数h足够小，使。

图三）根据基本不等式，注意到当时，左端（关于）是单减的，右端是单增的，所以。再根据上面已证的结论，就得到。

假若函数在区间内可微分，根据教科书中的定理2-3，则。

导数是增大的函数是下凸的。

现在，我们又证明了“函数是下凸的导数是增大的”[注意，]。因此，对于可微函数来说，它是下凸的它的导函数是增大的。

根据对偶性，它是上凸的它的导函数是减小的。

性质2 若是区间内的连续函数，则不等式。

与琴生不等式。

是等价的。证显然，在琴生不等式中取，就是不等式(※※剩下来就是要证明，从不等式(※※也可以推出琴生不等式(※)为简单起见，我们只证明其中的情形“＜”事实上，(反证法)假若琴生不等式(※)不成立，即至少有一个和有与，使。

作(连续)函数。

并记它的最大值为，则(根据反证法的假设)。首先假定，并把函数在区间上取到最大值的最大值点的最小者记为，则(因为)。取正数足够小，使，于是对于点。

和则根据不等式(※※即。

可得[注意=]

两端再同时减去，便得到。

这是不可能的 ()

其次，若，根据反证法的假设，则至少有一点使。重复上面的作法，则得。

这也是不可能的。因此，对于一切和任意与，都有，即函数满足琴生不等式。

正因为对于连续函数来说，不等式(※※与琴生不等式(※)是等价的，所以我们在教科书中就把简单的不等式(※※作为下(上)凸函数的定义。。