（1） 设是凸集上的凸函数，则也是上的凸函数；
2） 设是凸集上的凸函数，则对任意常数，函数也是凸函数；
3） 设是凸集上的凸函数，则对任意实数，水平集是凸集。
4） 设是内部非空的凸集，是定义在上的凸函数，则在的内部连续。
凸函数的判定条件。
当函数一阶或二阶可微时，除了可以根据定义来判断其是否是凸函数外，更常用的方法是如下的判别条件：
定理1-2 定义在凸集上的可微函数为凸函数的充要条件是：对于任意都有。
定理1-2的几何意义：设是一元凸函数，是两个不同点，则。
即凸函数的图像上任一点切线上的纵坐标总不大于曲线在该点的纵坐标，见图1-4，反之亦然。
图1-4 凸函数的几何意义。
只要将定理1-2中（1-23）式的“”改为“”，就可得到严格凸函数的充要条件。
定理1-3（凸函数的二阶充要条件） 设为含有内点的凸集，在上二次可微，则为上凸函数的充要条件是：的hesse矩阵在整个上半正定。
特别地，当时，的hesse矩阵，则该定理为：若具有二阶连续导数，则为凸函数的充要条件是：，其中。
定理1-4（严格凸函数的二阶充分条件） 设为非空开凸集，在上二次可微，若的hesse矩阵在上处处正定，则为上的严格凸函数。
说明：为上处处正定，仅是为严格凸函数的充分条件，而不是必要条件。例如：为严格凸函数，但的hesse矩阵，其hesse矩阵在处为零，即的hesse矩阵不是处处正定的。
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