函数极限的性质

§2 函数极限的性质。

. 教学目的与要求。

1.理解掌握函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性，迫敛性定理并会利用这些定理证明相关命题。

2.掌握函数极限四则运算法则、迫敛性定理，会利用其求函数极限。

. 教学重点与难点：

重点： 函数极限的性质。

难点： 函数极限的性质的证明及其应用。

. 讲授内容。

在§1中我们引入了下述六种类型的函数极限：

它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以第4)种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质．至于其他类型极限的性质及其证明，只要相应地作些修改即可。

定理3．2(唯一性) 若极限存在，则此极限是唯一的．

证设都是当时的极限，则对任给的，分别存在正数。

与，使得当时有。

当时有。取，则当时，(1)式与(2)式同时成立，故有。

由的任意性得，这就证明了极限是唯一的。

定理3。3（局部有限性）若存在，则在的某空心邻域内有界．

证设．取，则存在使得对一切有。

这就证明了在内有界．

定理3．4(局部保号性) 若(或)，则对任何正数（或，存在，使得对一切有。

或）证设，对任何，取，则存在，使得对一切。

这就证得结论．对于的情形可类似地证明．

注在以后应用局部保号性时，常取．

定理3．5(保不等式性) 设与都都存在，且在某邻域内有则。

证设 =，则对任给的，分别存在正数与使得当时有。

当时有。令，则当时，不等式与(4)、(5)两式同时成立，于是有。

从而．由的任意性推出，即(3)式成立．

定理3．6(迫敛性) 设==ａ且在某内有。

则．证按假设，对任给的，分别存在正数与，使得当时有，7当时有。

令，则当时，不等式(6)、(7)、(8)同时成立，故有。

由此得，所以。

定理3．7（四则运算法则）若极限与都存在，则函数。

当时极限也存在，且。

又若，则当时极限存在，且有。

这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理，留给学生作为练习．

利用函数极限的迫敛性与四则运算法则，我们可从一些简单的函数极限出发，计算较复杂的函数极限．

例 1求。解当时有。

而故由迫敛性得： =

另一方面，当有，故又由迫敛性又可得：

综上，我们求得。

例 2求。解由及§1例4所得的，并按四则运算法则有。

例 3求．解当时有。

故所求的极限等于。

例4 证明。

证任给(不妨设)，为使。

即，利用对数函数（当时）的严格增性，只要。

于是，令。则当时，就有(9)式成立，从而证得结论．

课外作业
.

2函数极限的性质

在 1中我们引入了下述六种类型的函数极限 它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以第4 种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质。至于其他类型极限的性质及其证明，只要相应的作些修改即可。定理3.2 唯一性 若极限存在，则此极限是唯一的。证设 都是当时的极限，则对任给的，分别存在正数与，使得当。时有。...

3 2函数极限的性质

2 函数极限的性质。教学章节 第三章函数极限 2 函数极限的性质。教学目标 使学生掌握函数极限的基本性质。教学要求 掌握函数极限的基本性质 唯一性 局部保号性 不等式性质以及有理运算性等。教学重点 函数极限的性质及其计算。教学难点 函数极限性质证明及其应用。教学方法 讲练结合。教学过程 引言。在 1...

函数极限的定义证明

习题13 1.根据函数极限的定义证明 证明 1 分析 3x1 8 3x9 3 x3 要使 3x1 8 只须。证明因为 0,当0 x3 时，有 3x1 8 所以。2 分析 5x2 12 5x10 5 x2 要使 5x2 12 只须。证明因为 0,当0 x2 时，有 5x2 12 所以。3 分析，要使，...