抽象函数的性质

作者：蒋珍。

没有具体的函数的解析式的函数，我们称为抽象函数，根据题目研究抽象函数的性质，是高一重要的题型。那么抽象函数相关试题的问题有如下几类：

1.单调性：由于没有具体的函数解析式，研究抽象函数的单调性就得靠试题中给出的抽象函数所满足的关系，通过赋特殊值、等价转化等手段，归结到函数单调性的定义上去解决；

2.奇偶性：这类试题的入手点就是函数奇偶性的定义，解题时紧扣定义，实现问题的转化；

3.函数与方程：这类试题中的函数满足一定的方程，解题的突破口是通过赋特殊值的方法找到一个或几个关键的特殊函数值，然后通过赋值法实现问题的关键。

4.不等式：一般要先研究函数的性质，再转化为一般的不等式进行解答。

典例精讲：例1：函数f(x)对任意的a,b∈r，都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1，并且当x＞0时，f(x)＞1.

1)求证：f(x)是r上的增函数；

2)若f(4)=5，解不等式f(3m2-m-2)＜3.

解析：(1)设任意x1，x2∈r，且x1＜x2,则x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＞1.

f(x2)-f(x1)=f［(x2-x1)+x1］-f(x1)

f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)

f(x2-x1)-1＞0,f(x1)＜f(x2)，即f(x)是r上的增函数。

2)f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5,∴f(2)=3.

不等式即为f(3m2-m-2)＜f(2).

f(x)是增函数，于是有3m2-m-2＜2,解得-1＜m＜，即m∈(-1,).

规律方法：f(x)在定义域上（或某一单调区间上）具有单调性，则f(x1)＜f(x2) f(x1)-f(x2)＜0；若是增函数，则f(x1)＜f(x2) x1＜x2.函数不等式（或方程）的求解，总是想方设法去掉抽象的函数符号，化为一般的不等式（或方程）求解，必须在定义域上（或给定范围内）进行。

例2：已知函数f(x)对一切x,y∈r都有f(x+y)=f(x)+f(y).

1)判断函数f(x)的奇偶性；

2)若f(-3)=a,用a表示f(12).

解析：(1)显然f(x)的定义域是r，它关于原点对称。

在f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x),令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0),f(0)=0把f(0)=0代入f(0)=f(x)+f(-x),得f(-x)=-f(x).综上，f(x)是奇函数。

2)由f(-3)=a,f(x+y)=f(x)+f(y)及f(x)是奇函数，得f(12)=2f(6)=4f(3)=-4f(-3)=-4a.

规律方法：抽象函数的奇偶性的判断，关键是找出f(x)与f(-x)的关系，因此先探索f(0)的值。

例3：函数f(x)的定义域为d=，且满足对于任意x1、x2∈d，有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).

1)求f(1)的值；

2)判断f(x)的奇偶性并证明；

3）如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且f(x)在(0,+∞上是增函数，求x的取值范围。

解析：（1）令x1=x2=1，有f(1×1)=f(1)+f(1),解得f(1)=0.

2）令x1=x2=-1,有f［(-1)×(1)］=f(-1)+f(-1)，解得f(-1)=0.

令x1=-1,x2=x，有f(-x)=f(-1)+f(x)，f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数。

3）f(4×4)=f(4)+f(4)=2,f(16×4)=f(16)+f(4)=3.

f(3x+1)+f(2x-6)≤3,即f［(3x+1)(2x-6)］≤f(64).（

规律方法：（1）对抽象函数解不等式问题，应充分利用函数的单调性，将“f”脱掉，转化为我们会求的不等式；（2）奇偶函数的不等式求解时，要注意到：奇函数在对称的区间上有相同的单调性，偶函数在对称的区间上有相反的单调性。

试一试：练习1.已知函数y=f(x)的定义域为r，且对任意a,b∈r，都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x＞0时，f(x)＜0恒成立，f(3)=-3.

1）证明：函数y=f(x)是r上的减函数；

2）试求函数y=f(x)在［m,n］(m,n∈z)上的值域。

解析：（1）对任意的x1,x2∈r，且x1＜x2，f(x2)=f［x1+(x2-x1)］=f(x1)+f(x2-x1).

x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＜0.

f(x2)=f(x1)+f(x2-x1)＜f(x1).

故f(x)是r上的减函数。

2）由于y=f(x)是r上的单调递减函数，∴y=f(x)在［m,n］上也是减函数，故f(x)在［m,n］上的最大值f(x)max=f(m),最小值f(x)min=f(n).

由于f(n)=f［1+(n-1)］=f(1)+f(n-1)=…nf(1),同理f(m)=mf(1).

又f(3)=3f(1)=-3,∴f(1)=-1,f(m)=-m,f(n)=-n.

因此函数y=f(x)在［m,n］上的值域为［-n,-m］.

练习2.函数f(x),x∈r，若对于任意实数x1,x2都有f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)f(x2).试判断函数y=f(x)的奇偶性。

解析：∵对于任意实数x1,x2都有。

f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)f(x2),令x1=0，x2=x,得。

f(x)+f(-x)=2f(0)f(x).①

令x1=x，x2=0，得。

f(x)+f(x)=2f(0)f(x).②

由①②得，f(-x)=f(x)，y=f(x)为偶函数。

练习3.定义在r上的函数f(x)满足：①对任意实数x,y∈r有f(x+y)=f(x)+f(y)；②当x＞0时，f(x)＜0且f(1)=-2.

1）求证f(0)=0;

2)判断函数f(x)的奇偶性；

3）判断函数f(x)的单调性；

4）解不等式f(x2-2x)-f(x)≥-8.

解析：（1）依题意，令x=0，y=0得f(0+0)=f(0)+f(0).

即2f(0)=f(0),∴f(0)=0.

2)∵f(x)的定义域是r,令y=-x代入f(x+y)=f(x)+f(y)得。

f(x-x)=f(x)+f(-x),即f(x)+f(-x)=0，f(-x)=-f(x)，∴f(x)是奇函数。

3）任取x1,x2∈r，且x1＜x2，则f(x2)=f［(x2-x1)+x1］=f(x2-x1)+f(x1),即f(x2)-f(x1)=f(x2-x1).

当x＞0时，f(x)＜0，而x2-x1＞0，∴f(x2-x1)＜0.

f(x2)-f(x1)＜0,即f(x2)＜f(x1),f(x)是r上的减函数。

4）∵f(1)=-2,∴f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=-4,f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)=-8.

而f(x2-2x)-f(x)≥-8,可化为f(x2-2x)≥f(x)+f(4)=f(x+4).

由f(x)是r上减函数，故x2-2x≤x+4,即x2-3x-4≤0,解得-1≤x≤4.

不等式的解集为。

抽象函数的性质

抽象函数的性质

抽象函数的性质

抽象函数性质的应用

其他用户还读了