函数的性质：单调性，奇偶性，周期性，凹凸性。
一． 单调性。
1． 对于<，恒有f()2． 区间单调：导数研究。
3． 运算：增+增=增，增-减=增，（乘法可以吗？为什么。）
复合函数：f(g(x)),此时就是做乘法，同增减为增，反之为减。
例1． 证明：f(x)= x是减函数。
例2． 求y=（3x-1）（）2x-3）（）图像与x轴交点坐标。
例3． 已知：f（x）=8+2x-，若g（x）=f（2-），求g（x）单调区间。
例4． 判断下面表达式在其定义域的单调性：
b. c. d. x∈(2,3)
e. arctan()
二．周期性。
1．定义：对于x∈，有x+t∈，且f（x+t）=f(x)恒成立，则称t是函数f的一个周期。
2．性质：a。一般初等函数都可能有最小正周期。
b．若t为周期，则nt也是函数的周期（n是整数）。
c. f（x）可以没有最小正周期，但其仍为周期函数。
d. f（x）图像不一定重复出现，但是数值重复出现。
e. 图像重复出现的函数也不一定是周期函数，至少要其图像与间隔都相同。
例5．f（x）=，x∈a,其中a=
例6． 求证：y=sin不是周期函数。(反证法)
例7． 已知f（x）的图像既关于x=a对称，又关于x=-b对称，求f（x）的周期。
三．奇偶性。
奇：f（x）=-f(x),f(0)=0;
偶：f(x)=f(-x)
例8． 函数y=是什么函数。
例9． 已知：f()=f()+f()
a. 求：f（1），f（-1）。
b. 求证：f（x）是偶函数。
c. 已知：f（x）在（0,+∞是增函数，求解f（x）+f（x-）≤0。
例10． 已知：f（x+y）=f(x)+f(y)，且x>0时f(x)<0,f(1)=-2
a． 求证：f(x)为奇函数。
b． 试问-3≤x≤3时，是否存在最值？若存在，请求出来。
总结：此类题目方法比较固定，就是代值（一般代入小值，如：0，1，-1等），然后研究题目奇偶性，一般都有单调，再用用已知就ok啦。
四．凹凸性。
定义：对于函数f(x)在某区间满足f()<恒成立，则称其为在此区间的凸函数，也叫下凸函数。
当然也可以对其求二次导数，二次导数大于0就是下凸函数，否则就是上凸函数（这是正式定义）
例11． 证明：x∈（0，），有tan()<成立。
例12． 证明：对于，i∈（0，1，2…n）有：≤(n成立。
练习：1． 设f(x)在定义域上递减，且f(x)，则下列函数中为增函数的有 .
[f(x)∈(0, ]
2． 已知f(x+2)= 则f(x)的周期是 .
a.2 b.3 c.4 d.6
3． f(x)是以2为周期的奇函数，求f(1)+f(2)+…f(2002
4． 设f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且f(x)=-g(x+c) (c>0)，则f(x)得最小正周期为 .
5． 若a>为奇函数，则g(x)=f(x)=(为。
6． 已知f(x+10)=f(10-x).f(20-x)=-f(20+x)，则最小正周期是
7． 方程=的解释。
8． 试解。
9． 已知 ] a∈r, 且， 求cos(x+2y).
10． 试找出一个周期函数，它无最小正周期但也不时常数函数。
11． f(x)= 其中为常数）,f(-2)=10,f(2
12． 设f(x)是[0.1]上不减函数，
求：f().
13． 求证：],有sin<2sin.
14． 证明素数无穷多。
15． 人总是要死的，死了之后不是下地狱就是上天堂。
在死的旅途中有两条路分别通向地狱和天堂，并且在分叉**可以做出选择，但是你并不知道哪条路是上天堂的，幸好分叉口有一个菩萨，你可以向他问一个问题，但是那个菩萨的回答只是摇头或点头，并且他的回答可能是真话也可能是假话，那么，请用你聪明的头脑想出一种问法，让你通向天堂。
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