高考数学总复习第十讲：抽象函数问题的题型综述。
抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是中学数学中的一个难点，因为抽象，学生解题时思维常常受阻，思路难以展开，教师对教材也难以处理，而高考中又出现过这一题型，有鉴于此，本文对这一问题进行了初步整理、归类，大概有以下几种题型：
一。 求某些特殊值。
这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化。
例1 定义在r上的函数满足：且，求的值。
解：由，以代入，有，为奇函数且有。
又由。故是周期为8的周期函数，例2 已知函数对任意实数都有，且当时，求在上的值域。
解：设。且，则，由条件当时，
又。为增函数，令，则。
又令 得 ，故为奇函数，，
上的值域为。
二。 求参数范围。
这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。
例3 已知是定义在（）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足，试确定的取值范围。
解：是偶函数，且在（0，1）上是增函数，在上是减函数，由得。
（1）当时，，不等式不成立。
（2）当时，（3）当时，综上所述，所求的取值范围是。
例4 已知是定义在上的减函数，若对恒成立，求实数的取值范围。
解： 对恒成立。
对恒成立。对恒成立，三。 解不等式。
这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“”，转化为代数不等式求解。
例5 已知函数对任意有，当时，，，求不等式的解集。
解：设且。则，即，故为增函数，又。
因此不等式的解集为。
四。 证明某些问题。
例6 设定义在r上且对任意的有，求证：是周期函数，并找出它的一个周期。
分析：这同样是没有给出函数表达式的抽象函数，其一般解法是根据所给关系式进行递推，若能得出（t为非零常数）则为周期函数，且周期为t。
证明： 得。
由（3）得。
由（3）和（4）得。
上式对任意都成立，因此是周期函数，且周期为6。
例7 已知对一切，满足，且当时，，求证：（1）时，（2）在r上为减函数。
证明：对一切有。
且，令，得，现设，则，而，设且，则，即为减函数。
五。 综合问题求解。
抽象函数的综合问题一般难度较大，常涉及到多个知识点，抽象思维程度要求较高，解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的应用，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号“”。
例8 设函数定义在r上，当时，，且对任意，有，当时。
（1）证明；
（2）证明：在r上是增函数；
（3）设，，若，求满足的条件。
解：（1）令得，或。
若，当时，有，这与当时，矛盾，。
（2）设，则，由已知得，因为，，若时，，由。
（3）由得。
由得 （2）
从（1）、（2）中消去得，因为，即。
例9 定义在（）上的函数满足（1），对任意都有，（2）当时，有，（1）试判断的奇偶性；（2）判断的单调性；
（3）求证。
分析：这是一道以抽象函数为载体，研究函数的单调性与奇偶性，再以这些性质为基础去研究数列求和的综合题。
解：（1）对条件中的，令，再令可得，所以是奇函数。
（2）设，则，，由条件（2）知，从而有，即，故上单调递减，由奇函数性质可知，在（0，1）上仍是单调减函数。
抽象函数问题分类解析。
我们将没有明确给出解析式的函数称为抽象函数。近年来抽象函数问题频频出现于****题中，由于这类问题抽象性强，灵活性大，多数同学感到困惑，求解无从下手。本文试图通过实例作分类解析，供学习参考。
1. 求定义域。
这类问题只要紧紧抓住：将函数中的看作一个整体，相当于中的x这一特性，问题就会迎刃而解。
例1. 函数的定义域为，则函数的定义域是___
分析：因为相当于中的x，所以，解得。
或。例2. 已知的定义域为，则的定义域是___
分析：因为及均相当于中的x，所以。
(1)当时，则。
(2)当时，则。
2. 判断奇偶性。
根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求与的关系。
例3. 已知的定义域为r，且对任意实数x，y满足，求证：是偶函数。
分析：在中，令，得。
令，得。于是。
故是偶函数。
例4. 若函数与的图象关于原点对称，求证：函数。
是偶函数。证明：设图象上任意一点为p（）
与的图象关于原点对称，关于原点的对称点在的图象上，又。
即对于函数定义域上的任意x都有，所以是偶函数。
3. 判断单调性。
根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。
例5. 如果奇函数在区间上是增函数且有最小值为5，那么在区间上是。
a. 增函数且最小值为 b. 增函数且最大值为。
c. 减函数且最小值为 d. 减函数且最大值为。
分析：画出满足题意的示意图1，易知选b。
图1例6. 已知偶函数在上是减函数，问在上是增函数还是减函数，并证明你的结论。
分析：如图2所示，易知在上是增函数，证明如下：
任取。因为在上是减函数，所以。
又是偶函数，所以，从而，故在上是增函数。
图24. 探求周期性。
这类问题较抽象，一般解法是仔细分析题设条件，通过类似，联想出函数原型，通过对函数原型的分析或赋值迭代，获得问题的解。
例7. 设函数的定义域为r，且对任意的x，y有。
并存在正实数c，使。试问是否为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。
分析：仔细观察分析条件，联想三角公式，就会发现：满足题设条件，且，猜测是以2c为周期的周期函数。
故是周期函数，2c是它的一个周期。
5. 求函数值。
紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。
例8. 已知的定义域为，且对一切正实数x，y都成立，若，则___
分析：在条件中，令，得，又令，得，例9. 已知是定义在r上的函数，且满足：，求的值。
分析：紧扣已知条件，并多次使用，发现是周期函数，显然，于是，所以。
故是以8为周期的周期函数，从而。
6. 比较函数值大小。
利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解。
例10. 已知函数是定义域为r的偶函数，时，是增函数，若，，且，则的大小关系是___
分析：且，又时，是增函数，是偶函数，故。
7. 讨论方程根的问题。
例11. 已知函数对一切实数x都满足，并且有三个实根，则这三个实根之和是___
分析：由知直线是函数图象的对称轴。
又有三个实根，由对称性知必是方程的一个根，其余两根关于直线对称，所以，故。
8. 讨论不等式的解。
求解这类问题利用函数的单调性进行转化，脱去函数符号。
例12. 已知函数是定义在上的减函数，且对一切实数x，不等式恒成立，求k的值。
分析：由单调性，脱去函数记号，得。
由题意知(1)(2)两式对一切恒成立，则有。
9. 研究函数的图象。
这类问题只要利用函数图象变换的有关结论，就可获解。
例13. 若函数是偶函数，则的图象关于直线___对称。
分析：的图象的图象，而是偶函数，对称轴是，故的对称轴是。
例14. 若函数的图象过点（0，1），则的反函数的图象必过定点___
分析：的图象过点（0，1），从而的图象过点，由原函数与其反函数图象间的关系易知，的反函数的图象必过定点。
10. 求解析式。
例15. 设函数存在反函数，与的图象关于直线对称，则函数。
a. b. c. d.
分析：要求的解析式，实质上就是求图象上任一点的横、纵坐标之间的关系。
点关于直线的对称点适合，即。
又，即，选b。
抽象函数的周期问题。
—由一道高考题引出的几点思考。
2023年高考数学（文科）第22题：设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称。对任意都有。
（i）设求；
（ii）证明是周期函数。
解析：（i）解略。
（ii）证明：依题设关于直线对称。
故。又由是偶函数知。
将上式中以代换，得。
这表明是上的周期函数，且2是它的一个周期。
是偶函数的实质是的图象关于直线对称。
又的图象关于对称，可得是周期函数。
且2是它的一个周期。
由此进行一般化推广，我们得到。
思考一：设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，证明是周期函数，且是它的一个周期。
抽象函数常见题型解法
抽象函数常见题型及解法。抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于这类问题可以全面考查学生对函数概念和性质的理解，同时抽象函数问题又将函数的定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性和图象集于一身，所以在高考中不断出现 如2004年江苏高考卷22题，2004年浙江...
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