一、常见题型与相关例题。
1、 整数问题。
例1、 在项数为1987的数列中有多少个不同的整数？
2、 方程问题。
方程问题主要有解方程与讨论方程的根两种题型。
例2、 解方程。
例3、 证明方程无实数解。
3、 恒等问题。
这类问题主要是证明一些由[x]构成的恒等式。例如。
例4、（hermite恒等式）若n是正整数，，则。
例5、已知求证：
4、 不等问题。
不等问题主要涉及含[x]的不等式分析。此类问题一般难度较大。
例6、设，试证：
注：与上面不等式相类似地还有。
例7、设试证：
例8、证明不等式对任意不小于1的实数立。
例9、求所有正整数n使得。
5、 求值问题。
例10、若实数满足求的值。
例11、计算和式的值。
6、 格点问题。
平面区域内的格点计数问题，往往与有关，而且通过格点计数，还可以证明一些恒等式。
例12、设求证：
证明：构造平面区域d=并考虑d中整点的个数：
1） 如果一列一列的数， =2时有个，时有个，…，时有个，故共有个。
2） 如果一行一行的数，时有个，时有个，…，时有个，故共有个。
综合（1）、（2），问题获证。
一般地，设函数在上连续且非负，则（为内的整数）表示平面区域的格点数。
特别地，有。
ⅰ）位于三角形：内的格点个数等于（为整数）。
ⅱ）设为正奇数，矩形域内的格点数等于。
ⅲ）圆域内的格点个数等于。
ⅳ）区域：内的格点个数等于。
对于以上结论，可通过画示意图来证明。
例如，位于由直线和围成的三角形内的格点个数等于。
高斯函数在数列和数论中也有极为广泛的应用，在数列和数论部分可以再得到补充。
二、练习。1、计算和式的值。
2、求函数的值域。
3、解方程。
4、试证对任意实数，有。
5、求方程的整数解。
6、设证明：对一切都有。
7、求所有的实数，使得对一切正整数都成立。
8、设求证：使下列不等式成立：。
9、若对任何整数都满足。
证明：中至少有一个是整数。
10、证明：对任意正整数都有。
11、证明使得对与的奇偶性相同，并给出一个如此的正实数。
12、在数列中，是正整数，且。试求出所有的使得当时有。
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