二次函数的常见题型。
二次函数是高中数学的重要内容，在高考中所占比例很大．它与不等式、解析几何、数列、复数等有着广泛的联系在高三复习要时针对几类常见题型进行分析和归纳，才能解决好这类题。
一．求二次函数的解析式待定系数法。
例1．二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。
变：（人教a版第27页a组第6题）
若，且，，求的值．
变式1：若二次函数的图像的顶点坐标为，与y轴的交点坐标为(0,11)，则
abcd．
变式2：若的图像x=1对称，则c=__
变式3：若二次函数的图像与x轴有两个不同的交点、，且，试问该二次函数的图像由的图像向上平移几个单位得到？
2．（北师大版第52页例2）图像特征。
将函数配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图像．
变式1：已知二次函数，如果(其中)，则
abcd．
变式2：函数对任意的x均有，那么、、的大小关系是。
ab． cd．
变式3：已知函数的图像如右图所示，请至少写出三个与系数a、b、c有关的正确命题。
如图，二次函数的图象开口向上，图象经过点(－1，2)和(1，0)，且与轴相交于负半轴．给出四个结论：①；
．其中正确结论的序号是 ．
已知二次函数的图象与直线有公共点，且不等式的解是－＜x＜，求a、b、c的取值范围。
3．（人教a版第43页b组第1题）单调性。
已知函数，．
1)求，的单调区间；(2) 求，的最小值．
变式1：已知函数在区间内单调递减，则a的取值范围是。
abcd．
变式2：已知函数在区间(,1)上为增函数，那么的取值范围是。
变式3：已知函数在上是单调函数，求实数的取值范围．
4．（人教a版第43页b组第1题）最值。
已知函数，．
1)求，的单调区间；(2) 求，的最小值．
变式1：已知函数在区间[0,m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是。
abcd．
变式2：若函数的最大值为m，最小值为m，则m + m的值等于___
变式3：已知函数在区间[0,2]上的最小值为3，求a的值．
5．（人教a版第43页a组第6题）奇偶性。
已知函数是定义在r上的奇函数，当≥0时，．画出函数的图像，并求出函数的解析式．
变式1：若函数是偶函数，则在区间上是。
a．增函数 b．减函数 c．常数 d．可能是增函数，也可能是常数
变式2：若函数是偶函数，则点的坐标是___
变式3：设为实数，函数，．
)讨论的奇偶性；()求的最小值．
6．（北师大版第64页a组第9题）图像变换。
已知．1)画出函数的图象；(2)求函数的单调区间；(3)求函数的最大值和最小值．
变式1：指出函数的单调区间．
变式2：已知函数．
给下列命题：①必是偶函数；
当时，的图像必关于直线x=1对称；
若，则在区间[a，＋∞上是增函数；
有最大值．其中正确的序号是。
变式3：设函数给出下列4个命题：
①当c=0时，是奇函数；
②当b=0，c>0时，方程只有一个实根；
③的图象关于点（0，c）对称；
④方程至多有两个实根．
上述命题中正确的序号为。
7．（北师大版第54页a组第6题）值域。
求二次函数在下列定义域上的值域：
1)定义域为；(2) 定义域为．
变式1：函数的值域是。
a． b． c． d．
变式2：函数y=cos2x+sinx的值域是。
变式3：已知二次函数 f (x) =a x 2 + bx（a、b 为常数，且 a ≠ 0），满足条件 f (1 + x) =f (1－x)，且方程 f (x) =x 有等根．
1)求 f (x) 的解析式；
2)是否存在实数 m、n（m < n），使 f (x) 的定义域和值域分别为 [m,n] 和 [3m,3n]，如果。
存在，求出 m、n 的值，如果不存在，说明理由．
8．（北师大版第54页b组第5题）恒成立问题。
当具有什么关系时，二次函数的函数值恒大于零？恒小于零？
变式1：已知函数 f (x) =lg (a x 2 + 2x + 1) ．
i)若函数 f (x) 的定义域为 r，求实数 a 的取值范围；
ii)若函数 f (x) 的值域为 r，求实数 a 的取值范围．
变式2：已知函数，若时，有恒成立，求的取值范围．
变式3：若f (x) =x 2 + bx + c，不论 、 为何实数，恒有 f (sin )≥0，f (2 + cos )≤0．
i) 求证：b + c = 1；
ii) 求证： c≥3；
iii) 若函数 f (sin ) 的最大值为 8，求 b、c 的值．
9．（北师大版第54页b组第1题）根与系数关系。
右图是二次函数的图像，它与x轴交于点和，试确定以及，的符号．
变式1：二次函数与一次函数在同一个直角坐标系的图像为。
变式2：直线与抛物线。
中至少有一条相交，则m的取值范围是．
变式3：对于函数 f (x)，若存在 x0 r，使 f (x0) =x0 成立，则称 x0 为 f (x) 的不动点．如果函数 f (x) =a x 2 + bx + 1（a > 0）有两个相异的不动点 x1、x2．
)若 x1 < 1 < x2，且 f (x) 的图象关于直线 x = m 对称，求证m >；
)若 | x1 | 2 且 | x1－x2 | 2，求 b 的取值范围．
变式4： 已知函数与非负轴至少有一个交点，求取值范围 。
变式5：： 求f(x)= logx－6 log3 x + 1 的取值范围。
变式6：： 求f(x)= 22x－2x + 1+ 3的取值范围。
10．（北师大版第52页例3）应用。
绿缘商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料．根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若每瓶售价每降低0.05元，则可多销售40瓶．在每月的进货量当月销售完的前提下，请你给该商店设计一个方安：销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？
变式1：在抛物线与x轴所围成图形的内接矩形(一边在x轴上)中(如图)，求周长最长的内接矩形两边之比，其中a是正实数．
变式2：某民营企业生产a，b两种产品，根据市场调查与**，a产品的利润与投资成正比，其关系如图一；b产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图二（注：利润和投资单位：万元）
1) 分别将a、b两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
2) 该企业已筹集到10万元资金，并全部投入a，b两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少元（精确到1万元）？
变式3：设a为实数，记函数的最大值为g(a) ．
ⅰ）求g(a)；（试求满足的所有实数a．
二次函数答案。
例1．解法1：∵抛物线顶点为（4，－3）且过点（1，0）
∴有方程组：
解得： 解法2：∵抛物线与x轴两个交点的坐标分别是（1，0）和（7，0）
设二次函数解析式为y＝a(x－1)(x－7)
把顶点（4，-3）代入得 －3＝a(4－1)（4－7）， 解得：a=
∴y＝（x－1）（x－7） 即y＝x2－x＋
解法3：物线的顶点为（4，－3）且过点（1，0）
设y＝a(x－4)2－3
将（1，0）代入得0＝a(1－4)2－3, 解得 a＝
∴y＝(x－4)2－3 即y＝x2－x＋
∴ 所求二次函数解析式为：y＝x2－x＋
点评：因为二次函数当x＝4时有最小值－3，所以顶点坐标为（4，－3），对称轴为直线x＝4，抛物线开口向上。由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是（1，0）和（7，0）。
此题可用一般式解，也可以用双根式或顶点式或顶点坐标公式来解。
变式1： 解：由题意可知，解得，故选d．
变式2： 解：由题意可知，解得b=0，∴，解得c=2．
变式3：解：由题意可设所求二次函数的解析式为，展开得，，，即，解得．
所以，该二次函数的图像是由的图像向上平移单位得到的，它的解析式是，即．
2．（北师大版第52页例2）图像特征。
变式1： 解：根据题意可知，∴ 故选d．
变式2： 解：∵，抛物线的对称轴是， 即，，∴故有，选c．
变式3： 解：观察函数图像可得：
1 a>0(开口方向)；②c=1(和y轴的交点)；
(和x轴的交点)；④
(判别式)；⑥对称轴)．
变式4：解：由图象可知：a＞0，b＜0，c＜0，∴abc＞0；
对称轴x＝在(1，0)的左侧，∴＜1，∴；
图象过点(－1，2)和(1，0)，∴b＝－1；
a＝1－c＞1. ∴正确的序号为：②③
点评：函数图象是研究函数性质的有力工具，是数形结合思想方法的重要运用。本题通过形(图象及其位置)的条件得出数(相等和不等关系)的结论。在复习总要加强这种思想方法的渗透。
变式5解：依题意有解，故δ=b2－4a（c－25）≥0.又不等式的解是－＜x＜， a＜0且有－=－
b=a，c=－a. ∴b=－c，代入δ≥0得c2+24c（c－25）≥0.
c≥24.故得a、b、c的取值范围为a≤－144，b≤－24，c≥24.
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