高三数学专题---二次函数综合问题。
二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延。 作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系。 这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题。
1.对任意实数t都有，那么（ a ）
a． b． c． d．
2.关于x的方程的两个实数根分别为，则的最小值是。
解：方程有实数根，故，或。
或 ∴（a＝3时取等号）
3.已知函数的图象与x轴无交点，求关于x的方程的根的范围．
提示：的图象与x轴无交点，所以。
解得：－2.5＜a＜3
1）当a∈（－2.5，1]时，方程化为。
x＝（a＋3）（2－a）
＝－a2－a＋6∈（]
2）当a∈（1，3）时，方程化为。
x＝（a＋3）a＝a2＋3a∈（4，18）
综上所述：x∈（，18）
二次函数的一般式中有三个参数。 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数。
1.已知，满足1且，求的取值范围。
提示：把1和当成两个独立条件，先用和来表示。
2.设，若，，,试证明：对于任意，有。
提示：用来表示。
利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点式。
3.设二次函数，方程的两个根满足。 当时，证明。
提示：4.设二次函数，方程的两个根满足。 且函数的图像关于直线对称，证明：.
提示：由题意。
由方程的两个根满足， 可得。
且，即 ，故 .
5.已知函数，将的图象向右平移两个单位，得到函数，函数与函数的图象关于直线对称，设，已知的最小值是且，求实数的取值范围。
提示：图像上关于对称点在的图像上；
即：对恒成立，故必有。
对称轴，问题等价于，即，此时，，故在取得最小值满足条件。
6.已知二次函数，设方程的两个实数根为和。
1）如果，设函数的对称轴为，求证：；
2）如果，，求的取值范围。
提示：设，则的二根为和。
1）由及，可得：
2），所以同号。
即： 2.3 因为二次函数在区间和区间上分别单调，所以函数在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得；函数在闭区间上的最大值必在区间端点或顶点处取得。
7.已知二次函数，当时，有，求证：当时，有。
提示：研究的性质，最好能够得出其解析式，即：应该尽量表达参数。
确定三个参数，本题可以考虑，，，这样做的好处有两个：一是的表达较为简洁，二是由于正好是所给条件的区间端点和中点，这样做能够较好地利用条件来达到控制二次函数范围的目的。
要考虑在区间上函数值的取值范围，只需考虑其最大值，也即考虑在区间端点和顶点处的函数值。
解：.①．当，则在上单调，故。
．当， 又，综上可知：当时，有。
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