练习与巩固。
1．(2023年高考辽宁卷)若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a等于( )
a．－2b．－1
c．1d．2
解析：选c.∵y＝(x＋1)(x－a)＝x2＋(1－a)x－a是偶函数。
1－a＝0，∴a＝1，故选c.
2．若f(x)＝x2－ax＋1有负值，则实数a的取值范围是( )
a．a>2或a<－2b．－2c．a≠±2d．1解析：选有负值，则必须满足f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，其充要条件是：δ＝a)2－4>0，a2>4即a>2或a<－2.
3．若f(x)＝x2－x＋a，f(－m)＜0，则f(m＋1)的值为( )
a．正数b．负数。
c．非负数d．与m有关。
解析：选b.法一：∵f(x)＝x2－x＋a的对称轴为x＝，而－m，m＋1关于对称，f(m＋1)＝f(－m)＜0，故选b.
法二：∵f(－m)＜0，∴m2＋m＋a＜0，f(m＋1)＝(m＋1)2－(m＋1)＋a＝m2＋m＋a＜0.故选b.
4．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则它的图象是( )
解析：选d.∵a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，得a＞0，c＜0(用反证法可得)，∴f(0)＝c＜0，∴只能是d.
5．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，且f(x＋2)是偶函数，则f(1)，f()，f()的大小关系是( )
a．f()＜f(1)＜fb．f(1)＜f()＜f()
c．f()＜f(1)＜fd．f()＜f()＜f(1)
解析：选a.由f(x＋2)是偶函数可知函数f(x)＝x2＋ax＋b关于直线x＝2对称，所以f(1)＝f(3)，又该函数图象开口向上，当x＞2时单调递增，故f()＜f(3)＝f(1)＜f()，故答案为a.
6．如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在p处有一棵树与两墙的距离分别为a m(0＜a m，不考虑树的粗细．现在想用16 m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃abcd.设此矩形花圃的面积为s m2，s的最大值为f(a)，若将这颗树围在花圃内，则函数u＝f(a)的图象大致是( )
解析：选c.据题意设bc＝x，则dc＝16－x，要使树围在花圃内，需a≤x≤12，此时花圃的面积f(x)＝x(16－x)＝－x－8)2＋64(a≤x≤12)，当8＜a<12时，有f(a)＝－a2＋16a，当0＜a≤8时有f(a)＝f(8)＝64，综上所述可得：
f(a)＝，作出图形易知c选项正确．
7．已知函数f(x)＝x2－2x＋2的定义域和值域均为[1，b]，则b
解析：∵f(x)＝(x－1)2＋1，∴f(x)在[1，b]上是增函数，f(x)max＝f(b)，∴f(b)＝b，∴b2－2b＋2＝b，b2－3b＋2＝0，∴b＝2或1(舍)．
答案：28．方程x2－mx＋1＝0的两根为α、β且α＞0,1＜β＜2，则实数m的取值范围是___
解析：∵∴m＝β＋1,2)且函数m＝β＋在(1,2)上是增函数，∴1＋1＜m＜2＋，即m∈(2，)．
答案：(2，)
9．已知定义在区间[0,3]上的函数f(x)＝kx2－2kx的最大值为3，那么实数k的取值范围为___
解析：∵f(x)＝k(x－1)2－k，1)当k>0时，二次函数图象开口向上，当x＝3时，f(x)有最大值，f(3)＝k·32－2k×3＝3k＝3k＝1；
2)当k<0时，二次函数图象开口向下，当x＝1时，f(x)有最大值，f(1)＝k－2k＝－k＝3k＝－3.
3)当k＝0时，显然不成立．
故k的取值集合为．
答案：10．求下列二次函数的解析式：
1)图象顶点坐标为(2，－1)，与y轴交点坐标为(0,11)；
2)已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，且f(x＋1)－f(x)＝2x.
解：(1)法一：(一般式)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意，得解得。
所以y＝3x2－12x＋11.
法二：(顶点式)设y＝a(x－2)2－1.
将(0,11)代入可得：11＝4a－1，于是a＝3，所以y＝3(x－2)2－1＝3x2－12x＋11.
2)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1，可知c＝1.
而f(x＋1)－f(x)＝[a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c]－(ax2＋bx＋c)＝2ax＋a＋b，由f(x＋1)－f(x)＝2x，可得2a＝2，a＋b＝0.
因而a＝1，b＝－1，所以f(x)＝x2－x＋1.
11．已知函数f(x)＝x2－4ax＋2a＋6(a∈r)．
1)若函数的值域为[0，＋∞求a的值；
2)若函数值为非负数，求函数f(a)＝2－a|a＋3|的值域．
解：(1)∵函数的值域为[0，＋∞16a2－4(2a＋6)＝0
2a2－a－3＝0a＝－1或a＝.
2)∵对一切x∈r函数值均为非负数，δ＝8(2a2－a－3)≤0－1≤a≤，a＋3>0，f(a)＝2－a|a＋3|＝－a2－3a＋2
－2＋，二次函数f(a)在上单调递减．
f≤f(a)≤f(－1)，即－≤f(a)≤4，f(a)的值域为。
12．已知函数f(x)＝ax2＋2x＋c(a、c∈n*)满足：①f(1)＝5；②6＜f(2)＜11.
1)求a、c的值；
2)若对任意的实数x∈[，都有f(x)－2mx≤1成立，求实数m的取值范围．
解：(1)∵f(1)＝a＋2＋c＝5，c＝3－a.①
又∵6＜f(2)＜11，即6＜4a＋c＋4＜11，②
将①式代入②式，得－＜a＜，又∵a、c∈n*，∴a＝1，c＝2.
2)由(1)知f(x)＝x2＋2x＋2.
法一：设g(x)＝f(x)－2mx＝x2＋2(1－m)x＋2.
当－≤1，即m≤2时，g(x)max＝g()＝3m，故只需－3m≤1，解得m≥，又∵m≤2，故无解．
当－＞1，即m＞2时，g(x)max＝g()＝m，故只需－m≤1，解得m≥.
又∵m＞2，∴m≥.
综上可知，m的取值范围是m≥.
法二：∵x∈[，不等式f(x)－2mx≤1恒成立2(1－m)≤－x＋)在[，]上恒成立．
易知[－(x＋)]min＝－，故只需2(1－m)≤－即可．
解得m≥.
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