一、利用函数的对称性解题。
（一）用对称比较大小。
例1、已知二次函数y=x2-3x-4，若x2-3/2＞3/2-x1＞0，比较y1与y2的大小。
解：抛物线的对称轴为x=3/2，且3/2-x1＞0，x2-3/2＞0，所以x1在对称轴的左侧，x2在对称轴的右侧，由已知条件x2-3/2＞3/2-x1＞0，得：x2到对称轴的距离大于x1到对称轴的距离，所以y2＞y1
（二）用对称求解析式。
例1、已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（－1，4），与x轴两交点间的距离为6，求此抛物线的解析式。
解：因为顶点坐标为（－1，4），所以对称轴为x=－1，又因为抛物线与x轴两交点的距离为6，所以两交点的横坐标分别为：
x1=－1－3=－4，x2=－1+3=2则两交点的坐标为（－4，0）、（2，0）；
设抛物线的解析式为顶点式：ya（x+1）+4，把（2，0）代入得a=－4/9。
所以抛物线的解析式为y=－4/9（x+1）2+4
（三）用对称性解题。
例1：关于x的方程x2+px+1=0（p＞0）的两根之差为1，则p等于（）
解：设方程x2+px+1=0（p＞0）的两根为x1、x2，则抛物线y=x2+px+1与x轴两交点的坐标为（x1，0），（x2，0）。因为抛物线的对称轴为x=－p/2，所以x1=－p/2－1/2，x2=－p/2+1/2，因为x1x2=1。
所以(－p/2－1/2)(－p/2+1/2=1，p2=5 因为p＞0，所以p=
例2、如图，已知抛物线y=x 2 +bx+c的对称轴为x=2，点a，b均在抛物线上，且ab与x轴平行，其中点a的坐标为（0，3），则点b的坐标为（ ）
a．（2，3） b．（3，2） c．（3，3） d．（4，3）
解：由点a，b均在抛物线上，且ab与x轴平行可知，点a，b关于x=2对称。
设点b的横坐标为xb，∵点a的坐标为（0，3）， 所以，（0+xb）/2=2，xb=4
b点坐标为（4，3）
例2（2010，山东日照）如图2是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为a（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是多少。
解析：由抛物线的对称性可知，抛物线与ｘ轴的另一交点为（－1，0），ax2+bx+c＜0的解集就是抛物线落在x轴下方的部分所对应的x的取值，不等式ax2+bx+c＜0的解集是－1＜x＜3．
例3、（2010，浙江金华）若二次函数y=－x2+2x+k的部分图象如图3所示，则关于x的一元二次方程－x2+2x+k=0的一个解x1=3，另一个解x2是多少；
解：依题意得二次函数y=-x2+2x+k的对称轴为x=1，与x轴的一个交点为（3，0），∴抛物线与x轴的另一个交点横坐标为1-（3-1）=-1，∴交点坐标为（-1，0）
关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的解为x1=3或x2=－1．故填空答案：x1=-1
例4：如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=1，且经过点p（3，0），则。
a－b+c的值为（ ）a.0 b.－1 c.1 d.2
解法1：将p代入得：9a+3b+c=0
由对称轴得：-b/2a=1, 得b=-2a 9a+3b+c=3a+c=0
即a+2a+c=0 则 a-b+c=0
解法2：由抛物线的对称轴：x=1，及点p（3，0），可求出抛物线上点p关于对称轴x=1的对称点的坐标为q（-1，0），由于q在抛物线上，有（-1，0）满足关系式，因为点p，q在x轴上所以a-b+c=0，故选a．
例5、抛物线y=ax2+bx+c经过点a（-2,7），b（6,7），c（3，-8），则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是。
解析：由点a（-2,7），b（6,7）的纵坐标相同，可知a、b关于抛物线的对称轴对称，且对称轴方程为x=（-2+6）/2=2，于是设该抛物线上纵坐标为–8的另一点的坐标为（x2,-8)，则有2=（3+x2）/2，从而得x2=1，故答案为(1,-8).
例6、已知抛物线上有不同的两点e(k+3，-k2+1)和f(-k-1，-k2+1)．
求抛物线的解析式．
分析：关键是确定一次项系数b．观察抛物线上不同的两点e(k+3，-k2+1)和f(-k-1，-k2+1)．
纵坐标相同，因此判断得点e和点f关于抛物线对称轴对称．
解：的对称轴为x=-b÷（-1/2×2）=b
因为抛物线上不同的两点e(k+3，-k2+1)和f(-k-1，-k2+1)．纵坐标相同，∴点e和点f关于抛物线对称轴对称，则b=[（k+3)+(k-1)]÷2=1，∴抛物线的解析式为y=1/2x2+x+4
例7（2010，山东聊城）如图5，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，且抛物线经过a（－1，0）、c（0，－3）两点，与x轴交于另一点b．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点m，使点m到点a的距离与到点c的距离之和最小，并求此时点m的坐标；．
分析：（1）由点c（0，－3）知c＝－3，只需求得a、b两个未知的系数，根据点a（－1,0）和对称轴x=1，利用待定系数法可求解；（2）由抛物线的对称性知，直线x=1是ab的垂直平分线，因此ma＝mb，要使得ma+mc最小，只要mc+mb最小，所以点m就是直线bc与抛物线对称轴的交点．
解：（1）∵抛物线经过点c（0，－3）∴c＝－3，∴y＝ax2+bx-3。
又抛物线经过点a（－1，0），对称轴为x=1，所以a-b-3=0 －b/2a=1 解得 a=1 b=-2
抛物线的函数关系式为y＝x2－2x-3
由b（3，0），c（0，－3），解得y=x-3,由x=1,解得y=-2.
当点m（1，-2）时，m到点a的距离与到点c的距离之和最小。
2）∵点a（－1,0），对称轴为x=1，∴点b（3，0）．连接bc,交对称轴x=1于点m.
点m在对称轴上，ma=mb,直线bc与对称轴x=1的交点即为所求的m点。设直线bc的函数关系式为y=kx+b，由b（3，0），c（0，－3），解得y=x-3,由x=1,解得y=-2.
当点m（1，-2）时，m到点a的距离与到点c的距离之和最小。
例8、二次函数图像经过a（-3，1）、b（1，1）、c（-1，3）三点，求二次函数的解析式。
分析：由观察可知点a（-3，1）、b（1，1）是抛物线上对称的两点。根据结论2，可知直线是此抛物线的对称轴，所以点c（-1，3）恰为抛物线的顶点。
设二次函数的解析式为（顶点式），所以。从而可确定二次函数的解析式为。
例9. 已知抛物线经过点a（-3，-5），且。试求抛物线经过除a点以外的另一定点的坐标。
分析：按照常规思维写出解析式，再确定某一常数点，思维受阻。考虑到，从而可知对称轴为。
根据结论3，a（-3，-5）关于对称轴的对称点a’一定在抛物线上，a’点的坐标为（1，-5）。因而另一定点的坐标为（1，-5）。
例10、已知，抛物线（、是常数且不等于零）的顶点是a，如图所示，抛物线的顶点是b。
1）判断点a是否在抛物线上，为什么？
2）如果抛物线经过点b，①求的值；②这条抛物线与轴的两个交点和它的顶点a能否构成直角三角形？若能，求出它的值；若不能，请说明理由。
解析：（1）抛物线的顶点a（，）而当时，＝，所以点a在抛物线上。
2）①顶点b（1，0），，设抛物线与轴的另一交点为c，∴b（1，0），c（，0），由抛物线的对称性可知，△abc为等腰直角三角形，过a作ad⊥轴于d，则ad＝bd。当点c在点b的左边时，，解得或（舍）；当点c在点b的右边时，，解得或（舍）。故。
例11. 如图2所示，圆o的直径为2，ab、ef为互相垂直的两条直径，以ab所在直线为y轴，过点a作x轴，建立直角坐标系。
（1）写出e、f的坐标；
（2）经过e、f两点的抛物线从左至右交x轴于c、d两点，若，试判定抛物线的顶点是否在圆内。
（3）若经过e、f两点的抛物线的顶点恰好在圆o上，试求抛物线的解析式。
分析：（1）e点的坐标为（-1，1），f点的坐标为（1，1）；
（2）根据结论2可知，e、f关于对称轴对称，从而可知对称轴为。c、d是抛物线与x轴的两个交点，根据结论1，易知c点坐标为。设解析式为，建立方程组。
可得解析式为。易知顶点**段ab上。因为，故知抛物线顶点在圆内。
（3）根据抛物线的对称性和圆的对称性可知，抛物线的顶点只能为b点或a点，现分两种情况讨论。（1）当b点为顶点时，设解析式为（顶点式），所以。解得，所以解析式为。
（2）当a点为顶点时，设解析式为，所以。解得，所以解析式为。
注意：求抛物线的解析式的过程中，为避免方程组**现相同的方程，对称的两点中，只用其中一个点的坐标来列方程。
二、二次函数a、b、c之间的关系题型及字母求值的题型。
1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出下列结论：① b2－4ac>0；② 2a+b<0；③ 4a－2b+c=0；④ a︰b︰c= －1︰2︰3.其中正确的是（ ）
ab.②③cd.①④
解析：由图可知，对称轴为x=1，图象与x轴有两个交点（-1，0）和（3，0），故b2－4ac>0；a-b+c=0,2a+b=0, 所以b=-2a,c=-3a,所以a︰b︰c= -1︰2︰3.解答：选d．
二次函数题型分类汇总
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