例2：已知函数的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域 。
评析： 已知函数的定义域是a，求函数f(x)的定义域。相当于求内函数的值域。
练习：定义在上的函数f(x)的值域为，若它的反函数为f-1(x)，则y=f-1(2-3x)的定义域为，值域为 。
二、求值问题---抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。怎样赋值？需要明确目标，细心研究，反复试验；
例3.①对任意实数x,y，均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001
解析：这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手：
令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2, 令x=y=0,得：f(0)=0,f(1)=,
r上的奇函数y=f(x)有反函数y=f-1(x),由y=f(x+1)与y=f-1(x+2)互为反函数，则f(2009)=
解析：由于求的是f(2009)，可由y=f-1(x+2)求其反函数y=f(x)-2,所以f(x+1)= f(x)-2，又f(0)=0,通过递推可得f(2009)=-4918.
例4.已知f(x)是定义在r上的函数，f(1)=1,且对任意x∈r都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(20021
解：由g(x)=f(x)+1-x,得f(x)=g(x)+x-1. 而f(x+5)≥f(x)+5，所以g(x+5)+(x+5)-1≥g(x)+x-1+5 ,
又f(x+1)≤f(x)+1，所以 g(x+1)+(x+1)-1≤g(x)+x-1+1
即 g(x+5)≥g(x), g(x+1)≤g(x). 所以g(x)≤g(x+5)≤g(x+4)≤g(x+3)≤g(x+2)≤g(x+1),故g(x)=g(x+1) 又g(1)=1, 故g(2002)=1.
练习： 1. f(x)的定义域为，对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)=2 ，则 （）2. 。2000
.(,原式=16)
3、对任意整数函数满足：，若，则c
a.-1b.1c. 19d. 43
4、函数f(x)为r上的偶函数，对都有成立，若，则=（ b）
a . 2005b. 2c.1d.0
5、定义在r上的函数y=f(x)有反函数y=f-1(x)，又y=f(x)过点（2，1），y=f(2x)的反函数为y=f-1(2x)，则y=f-1(16)为（ ）a）
abc）8 d）16
三、值域问题。
例4.设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在，使得，求函数f(x)的值域。
解：令x=y=0，有f(0)=0或f(0)=1。若 f(0)=0，则 f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恒成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故 f(0)≠0，必有 f(0)=1。
由于f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数x、y均成立，因此， ,又因为若f(x)=0,则f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0与f(0)≠0矛盾，所以f(x)>0.
四、解析式问题（换元法，解方程组，待定系数法，递推法，区间转移法，例5. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos2x, 求f(x)
解：令u=1+sinx,则sinx=u-1 (0≤u≤2),则f(u)=-u2+3u+1 (0≤u≤2)故f(x)=-x2+3x+1 (0≤u≤2)
小结：换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法。
例6、设对满足x≠0,x≠1的所有实数x，函数f(x)满足， ,求f(x)的解析式。
解： -2）
小结：通过解方程组的方法可求表达式。怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。
例7.已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x).
解：易知f(x)是二次多项式，设f(x)=ax2+bx+c (a≠0)，代入比较系数得：a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x2-2x-1.
小结：如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。
例8.是否存在这样的函数f(x),使下列三个条件：
f(n)>0,n∈n; ②f(n1+n2)=f(n1)f(n2),n1,n2∈n*;
f(2)=4同时成立？若存在，求出函数f(x)的解析式；若不存在，说明理由。
解：假设存在这样的函数f(x),满足条件，得f(2)=f(1+1)=4,解得f(1)=2.
又f(2)=4=22,f(3)=23,…,由此猜想：f(x)=2x (x∈n*) 数学归纳证明略）
小结：对于定义在正整数集n*上的抽象函数，用数列中的递推法来**，如果给出的关系式具有递推性，也常用递推法来求解。
a． b． c． d．
解：易知t=2，当时， ,
当时，∴.故选d。
小结：利用函数的周期性和对称性把未知区间转移到已知区间，利用已知区间的表达式求未知区间的表达式，是求解析式中常用的方法。
1.（2006重庆）已知定义域为r的函数f(x)满足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.
ⅰ）若f(2)=3，求f(1)；又若f(0)=a，求f(a)；
ⅱ）设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)=x0，求函数f(x)的解析表达式。
2、函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立，且f(1)=0， （1）求的值；
（2）对任意的，，都有f(x1)+2解：（1）由已知等式，令，得，又∵，∴
2）由，令得，由（1）知，∴．在上单调递增，∴．要使任意，都有成立，必有都成立。当时，,显然不成立．当时，，解得∴的取值范围是．
方法提炼怎样赋值？需要明确目标，细心研究，反复试验；(2)小题中实质是不等式恒成立问题。
五、单调性问题 （抽象函数的单调性多用定义法解决）
例10.设函数f(x)对任意实数x,y，都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>0时f(x)<0,且f(1)= 2,求f(x)
在[-3，3]上的最大值和最小值。
解析：由单调性的定义步骤设x10,∴f(x2-x1)<0）
所以f(x)是r上的减函数， 故f(x)在[-3,3]上的最大值为f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=-6,最小值为f(-3),令x=y=0,得f(0)=0,令y=-x,得f(-x)+f(x)=f(0)=0,即f(x)为奇函数。∴f(-3)=-f(3)=6.
练习：设f(x)定义于实数集上，当x>0时，f(x)>1,且对于任意实数x、y，有f(x+y)=f(x)f(y求证：f(x)在r上为增函数。
证明：设r上x11，f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)f(x1),(注意此处不能直接得大于f(x1)，因为f(x1)的正负还没确定) 。
取x=y=0得f(0)=0或f(0)=1;若f（0）=0,令x>0,y=0，则f(x)=0与x>0时，f(x)>1矛盾，所以f(0)=1，x>0时，f(x)>1>0,x<0时，-x>0，f(-x)>1,∴由，故f(x)>0，从而f(x2)>f(x1).即f(x)在r上是增函数。（注意与例4的解答相比较，体会解答的灵活性）
例11、已知偶函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有，且当时，1）f(x)在(0,+∞上是增函数； （2）解不等式。
解： （1）设，则，∴，即，∴
在上是增函数。
2），∴是偶函数∴不等式可化为，又∵函数在上是增函数，∴0≠，解得：
练习：已知函数f(x)的定义域为r，且对m、n∈r,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且f(－)0,当x>－时，f(x)>0.求证：f(x)是单调递增函数；
证明：设x1＜x2,则x2－x1－>－由题意f(x2－x1－)>0,f(x2)－f(x1)=f［(x2－x1)+x1］－f(x1)=f(x2－x1)+f(x1)－1－f(x1)=f(x2－x1)－1=f(x2－x1)+f(－)1=f［(x2－x1)－］0,f(x)是单调递增函数。
例12、定义在r+上的函数f(x)满足： ①对任意实数m,f(xm)=mf(x); f(2)=1.
1)求证：f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数x,y都成立2)证明f(x)是r+上的单调增函数；
3)若f(x)+f(x-3)≤2,求x 的取值范围。
解：(1)令x=2m,y=2n,其中m,n为实数，则f(xy)=f(2m+n)=(m+n)f(2)=m+n.
又f(x)+f(y)=f(2m)+f(2n)=mf(2)+nf(2)=m+n,所以f(xy)=f(x)+f(y)
故f(x1) 高考数学总复习第十讲 抽象函数问题的题型综述。抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是中学数学中的一个难点，因为抽象，学生解题时思维常常受阻，思路难以展开，教师对教材也难以处理，而高考中又出现过这一题型，有鉴于此，本文对这一问题进行了初步整理 归类，大概有以下几种... 抽象函数常见题型及解法。抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于这类问题可以全面考查学生对函数概念和性质的理解，同时抽象函数问题又将函数的定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性和图象集于一身，所以在高考中不断出现 如2004年江苏高考卷22题，2004年浙江... 评析 1 要讨论函数的单调性必然涉及到两个问题 一是f 0 的取值问题，二是f x 0的结论。这是解题的关键性步骤，完成这些要在抽象函数式中进行。由特殊到一般的解题思想，联想类比思维都有助于问题的思考和解决。一 定义域问题。例1.已知函数的定义域是 1，2 求f x 的定义域。解 的定义域是 1，2...抽象函数常见题型解法
抽象函数常见题型解法
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