抽象函数常见题型及解法。
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于这类问题可以全面考查学生对函数概念和性质的理解，同时抽象函数问题又将函数的定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性和图象集于一身，所以在高考中不断出现；如2023年江苏高考卷22题，2023年浙江高考卷12题，2023年四川卷12题等。学生在解决这类问题时，往往会感到无从下手，正确率低，本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：
一、定义域问题。
例1. 已知函数的定义域是［0，1］，求的定义域。
解：的定义域是［0，1］，是指，所以中的满足。
从而函数的定义域是：.
评析：一般地，已知函数的定义域是a，求的定义域问题，相当于已知中x的取值范围为a，据此求的值域问题。
例2. 已知函数的定义域是，求函数的定义域。
解：的定义域是，意思是凡被作用的对象都在中，由此可得。
所以函数的定义域是。
评析：这类问题的一般形式是：已知函数的定义域是a，求函数的定义域。
正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题实质上相当于已知的值域b，且，据此求x的取值范围。例2和例1形式上正相反。
二、求值问题。
例3. 已知函数对于任意x,y都有成立。
1）求与的值；
2）若，（a、b均为常数），求的值。
解：由已知对对于任意x,y都有成立。
1）令，得，.
令，得， 1）令，得。
令，得。令，得。
评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，如取，这样便得到了。赋值法是解此类问题的常用技巧。
三、值域问题。
例4. 设函数定义于实数集上，对于任意实数x、y，总成立，且存在，使得，求函数的值域。
解：令，得，即有或。
若，则，对任意均成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故，必有。
由于对任意均成立，因此，对任意，有。
下面来证明，对任意。
设存在，使得，则。
这与上面已证的矛盾，因此，对任意。
所以。评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。
四、解析式问题。
例5. 已知函数满足求的表达式。
解：由已知。
令，则代入⑴，得。
在(2)中令，则3)
得。所求函数解析式为：.
评析：如果把和分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。
五、单调性问题。
例6. 设定义于实数集上，当时，，且对于任意实数x、y，有，求证：在r上为增函数。
证明：在中取，得。
若，令，则，与矛盾。
所以，即有。
当时，；当时， 而。所以。
又当时， 所以对任意，恒有。
设，则。所以。
所以在r上为增函数。
评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。
六、奇偶性问题。
例7. 已知函数对任意不等于零的实数都有，试判断函数的奇偶性。
解：取得：，所以。
又取得：，所以。
再取则，即。
因为为非零函数，所以为偶函数。
七、周期性问题。
例8.已知是实数集r上的函数，且对任意xr,恒成立。
(1)求证：是周期函数。
(2)已知，求。
（1）证明：∵∴则，从而，是周期函数且6是它的一个周期。
2)解：.评析：在证明函数周期性问题上往往是抓住题目中对变量的任意性和等量关系反复迭代，最终得出对任意都有，再有周期函数的定义，从而命题得证。
八、对称性问题。
例9. 已知函数满足，求的值。
解：已知式即在对称关系式中取，所以函数的图象关于点（0，2013）对称。根据原函数与其反函数的关系，知函数的图象关于点（2013，0）对称。
所以。将上式中的x用代换，得。
评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设a、b均为常数，函数对一切实数x都满足，则函数的图象关于点（a，b）成中心对称图形。
八、学科内综合问题。
例10. 定义在r上的函数f（x）满足：对任意实数m，n，总有，且当x>0时，0（1）判断f（x）的单调性；
2）设，，若，试确定a的取值范围。
解：（1）在中，令，得，因为，所以。
在中，令。因为当时，
所以当时。而。
所以。又当x=0时，，所以，综上可知，对于任意，均有。
设，则。所以。
所以在r上为减函数。
2）由于函数y=f（x）在r上为减函数，所以。
即有。又，根据函数的单调性，有。
由，所以直线与圆面无公共点。因此有，解得。
评析：（1）要讨论函数的单调性必然涉及到两个问题：一是的取值问题，二是》0的结论。
这是解题的关键性步骤，完成这些要在抽象函数式中进行。由特殊到一般的解题思想，联想类比思维都有助于问题的思考和解决。
抽象函数常见题型解法
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