常见抽象函数的题型。
常见的特殊模型：
二．若，则具有周期性；
若，则具有对称性：
内同表示周期性，内反表示对称性”。
三．周期的一些结论：,
2、的周期为。
3、 的周期为。
4、 的周期为。
5、 的周期为。
四关于对称的结论。
1 若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三个式子成立且等价：
1）f(a＋x)＝f(a－x)
2）f(2a－x)＝f(x)
3）f(2a＋x)＝f(－x)
2 若函数y＝f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：
1）f(a＋x)＝－f(a－x)
2）f(2a－x)＝－f(x)
3）f(2a＋x)＝－f(－x)
易知，y＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a＝0时的特例。
五．两个对称推出周期， ,
推论：偶函数满足周期， ,
推论：奇函数满足周期， ,
题型总结。一．求的解析式。
例．设是定义在上以2为周期的周期函数，且是偶函数，在区间上，1） 求f（1.5）的值。
2） 求时的解析式。
解：（1）2）当，即，又是以2为周期的周期函数，于是当，即时，二、求值问题---抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。怎样赋值？
需要明确目标，细心研究，反复试验；
二、求值问题。
例3. 已知定义域为的函数f（x），同时满足下列条件：①；求f（3），f（9）的值。
解：取，得。
因为，所以。又取。得。
评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取，这样便把已知条件与欲求的f（3）沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。
练习： 1. f(x)的定义域为，对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)=2 ，则 （）
.,原式=16)
3、对任意整数函数满足：，若，则c
a.-1b.1c. 19d. 43
4.（2023年高考题）设是上的奇函数，当时，，则等于（-0.5）
a）0.5b）-0.5c）1.5d）-1.5.
三、奇偶性问题。
例7. 已知函数对任意不等于零的实数都有，试判断函数f（x）的奇偶性。
解：取得：，所以。
又取得：，所以。
再取则，即。
因为为非零函数，所以为偶函数。
例6.已知的周期为4，且等式对任意均成立，判断函数的奇偶性。
解：由的周期为4，得，由得。
故为偶函数。
练习判断函数的奇偶性。
五、单调性问题
例11、已知偶函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有，且当时，1）f(x)在(0,+∞上是增函数；
2）解不等式。
解：（1）设，则，∴，即，∴
在上是增函数。
2），∴是偶函数∴不等式可化为，又∵函数在上是增函数，0≠，解得：
例：设是定义在上的偶函数，且在上是增函数，又。求实数的取值范围。
解析：又偶函数的性质知道：在上减，而，所以由得，解得。
设计理由：此类题源于变量与单调区间的分类讨论问题，所以本题弹性较大，可以作一些条件变换如：等；也可将定义域作一些调整）
七、周期性与对称性问题
确定函数图象与轴交点的个数。
例7.设函数对任意实数满足，
判断函数图象在区间上与轴至少有多少个交点。
解：由题设知函数图象关于直线和对称，又由函数的性质得。
是以10为周期的函数。在一个周期区间上，故图象与轴至少有2个交点。
而区间有6个周期，故在闭区间上图象与轴至少有13个交。
幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得到的函数。
例8、已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）·f（y），且f（－1）＝1，f（2）＝4，当时，。
1）判断f（x）的奇偶性；
2）判断f（x）在［0，＋∞上的单调性，并给出证明；
3）若，求a的取值范围。
分析：由题设可知f（x）是幂函数的抽象函数，从而可猜想f（x）是偶函数，且在［0，＋∞上是增函数。
解：（1）令y＝－1，则f（－x）＝f（x）·f（－1），∵f（－1）＝1，∴
f（－x）＝f（x），f（x）为偶函数。
2）设，∴，时，，∴f（x1）＜f（x2），故f（x）在0，＋∞上是增函数。
3）∵f（27）＝9，又，，∴又，故。点。练习。
1：如果=对任意的有，比较的大小。
2、函数f(x)为r上的偶函数，对都有成立，若，则=（ b）
a . 2005b. 2c.1d.0
3.已知=为奇函数，当》0时， ,求。
4、设f（x）是定义在（0，＋∞上的单调增函数，满足，求：
1）求证：
2）f（1）；
3）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围。
练习答案1：如果=对任意的有，比较的大小。
解：对任意有∴=2为抛物线=的对称轴。
又∵其开口向上∴(2)最小， (1)= 3)∵在［2，＋∞上，为增函数。
3.已知=为奇函数，当》0时， ,求。
解：∵为奇函数，∴的定义域关于原点对称，故先求<0时的表达式。∵-0,∴,为奇函数，∴∴当<0时∴
4、设f（x）是定义在（0，＋∞上的单调增函数，满足，求：
1）f（1）；
2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围。
分析：由题设可猜测f（x）是对数函数的抽象函数，f（1）＝0，f（9）＝2。
解：（1）∵，f（1）＝0。
2），从而有f（x）＋f（x－8）≤f（9），即，∵f（x）是（0，＋∞上的增函数，故。
解之得：8＜x≤9。
抽象函数常见题型解法
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抽象函数常见题型解法
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