专题二十抽象函数问题的题型综述。
抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出一些函数符号及其满足的条件的函数，如函数的定义域，解析递推式，特定点的函数值，特定的运算性质等，它是高中函数部分的难点，也是大学高等数学函数部分的一个衔接点，由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体，因此理解研究起来比较困难。但由于此类试题即能考查函数的概念和性质，又能考查学生的思维能力，所以备受命题者的青睐，那么，怎样求解抽象函数问题呢，本文对这一问题进行了初步整理、归类，大概有以下几种题型：
一、求定义域。
这类问题只要紧紧抓住：将函数中的看作一个整体，相当于中的x这一特性，问题就会迎刃而解。
例1、函数的定义域为，则函数的定义域是。
练习1：（江西卷3）若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
abc． d．
练习2： 已知函数的定义域为，则的定义域为。
练习3：函数定义域是，则的定义域是（ ）
a. b. c. d.
二、 求某些特殊值。
这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化。有些题也可紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。
例2、 若函数的图象过点（0，1），则的反函数的图象必过定点。
练习：设函数存在反函数，且函数的图象过点（1，2），则函数的图象一定过点。
例3、已知的定义域为，且对一切正实数x，y都成立，若，则___
练习：设是r上的奇函数，且，则的值为。
三、 判断并证明某些问题。
1）判断单调性： 根据函数的单调性的定义及函数图象，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。
2）证明奇偶性：根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求与的关系。
3） 探求周期性：一般解法是根据所给关系式进行递推，若能得出（t为非零常数）则为周期函数，且周期为t。
例4、定义在r上的偶函数，，则（ ）
练习1：如果奇函数在区间上是增函数且有最小值为5，那么在区间上是（ ）
a. 增函数且最小值为b. 增函数且最大值为。
c. 减函数且最小值为d. 减函数且最大值为。
练习2：若函数是奇函数且函数在上递减，则函数（ ）
a、递增b、递减 c、先增后减d、无法判断。
练习3：设奇函数在上是增函数，且，则不等式的解集为（ ）
练习4：若函数是奇函数且在上是增函数，又，则的解集为
例5、已知的定义域为r，且对任意实数x，y满足，求证：是偶函数。
练习： 设是定义在r上的函数，对任意x，y∈r，有且。（1）求证：；（2）求证：为偶函数。
例6、 设定义在r上且对任意的有，求证：是周期函数，并找出它的一个周期。
四、讨论不等式的解。
这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“”，转化为代数不等式求解。
例7、已知函数在定义域（-1，1）上是减函数，且，求实数的取值范围。
练习1：已知奇函数在定义域（-2，2）上是减函数，求满足不等式的实数的取值范围。
练习2：函数是奇函数，且当时是增函数，若，求不等式的解集。
例8、设在r上是偶函数，在区间上递增，且有，求的取值范围。
练习1：设是定义在r上的偶函数，在区间上递减，且有，求的取值范围。
练习2：已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（ ）
练习3：函数是r上的偶函数，且在上递减，则不等式的解集是。
练习4：函数对于》0有意义，且满足条件减函数。
1）证明：；（2）若成立，求的取值范围。
五、 综合问题求解。
抽象函数的综合问题一般难度较大，常涉及到多个知识点，抽象思维程度要求较高，解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的应用，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号“”。
例9、设函数的定义域为，且满足。
12）求证：
3）如果时，求关于的不等式的解集。
例10、已知函数的定义域为且为增函数，
1）证明：
2）已知。例11、若函数在定义域上是增函数，且对一切，1）（2）若，。
例12、函数对任意实数都有，且当时，
（1）求证：是奇函数；
2）求证：是增函数；
3）解不等式。
4）求在上的值域。
例13 、已知对一切，满足，且当时，1）求证：时，
2）求证：在r上为减函数。
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