第十章罚函数法与广义乘子法。
本章主要内容：外罚函数法内罚函数法广义乘子法。
教学目的及要求：了解外罚函数法、内罚函数法、广义乘子法。
教学重点：外罚函数法．
教学难点：广义乘子法．
教学方法：启发式．
教学手段：多**演示、演讲与板书相结合．
教学时间：3学时．
教学内容：10.1 外罚函数法。
考虑约束非线性最优化问题。
其中都是定义在上的实值连续函数．记问题（10.1.1）的可行域为．
对于等式约束问题。
定义罚函数。
其中参数是很大的正常数．这样，可将问题（10.1.2）转化为无约束问题。
对于不等式约束问题。
定义罚函数。
其中是很大的正数．这样，可将问题（10.1.4）转化为无约束问题。
对于一般的约束最优化问题（10.1.1），定义罚函数。
其中是很大的正数，具有下列形式：
和是满足下列条件的实值连续函数：
函数和的典型取法为。
其中和是给定的常数，通常取作1或2．
这样，可将约束问题（10.1.1）转化为无约束问题。
其中是很大的正数，是连续函数．
算法10-1（外罚函数法）
step1 选取初始数据．给定初始点，初始罚因子，放大系数，允许误差，令．
step2 求解无约束问题．以为初始点，求解无约束问题。
设其最优解为．
step3 检查是否满足终止准则．若，则迭代终止，为约束问题（10.1.1）的近似最优解；否则，令，返回step2．
例1 用外罚函数法在平面上求一点，使得到定点的距离近似最短，取．
解令，问题可归为求解如下最优化问题。
引入罚函数．
则原约束最优化问题相应的一系列无约束最优化问题为：
其中．解上述无约束问题，得，同时．
依次对用上述公式计算和，结果如下表所示．
由迭代终止条件可得原约束问题的近似最优解（保留4位有效数字）．
10.2 内罚函数法。
对于不等式约束问题（10.1.4），其可行域的内部。
为了保持迭代点始终含于，我们引入另一种罚函数。
其中是很小的正数，是上的非负实值连续函数，当点趋向可行域的边界时，．
显然，罚函数的作用是对企图脱离可行域的点给予惩罚，相当于在可行域的边界设置了障碍，不让迭代点穿越到可行域之外，因此也称为障碍函数．
的两种常用的形式为。
及。分别称为倒数障碍函数和对数障碍函数．
算法10-2（内罚函数法或sumt内点法）
step1 选取初始数据．给定初始内点，初始参数，缩小系数，允许误差，令．
step2 求解无约束问题．以为初始点，求解无约束问题。
设其最优解为．
step3 检查是否满足终止准则．若，则迭代终止，为约束问题（10.1.4）的近似最优解；否则，令，返回step2．
算法10-3（求内罚函数法中初始内点的算法）
step1 选取初始数据．给定初始点，初始参数，缩小系数，令．
step2 确定指标集．令。
step3 检验是否满足终止准则．若，则，迭代终止；否则，转step4．
step4 求解无约束问题．以为初始点，求无约束问题的最优解，其中。
令，返回step2．
10.3 广义乘子法。
考虑只带等式约束的最优化问题（10.1.2）．不难知道，问题（10.1.2）等价于问题。
其中．该问题的lagrange函数。
由于中既有罚项，又有乘子项，故称为乘子罚函数．
与外罚函数类似，若设为严格单调递增且趋于无穷大的正数列，则我们可以把求解等式约束问题（10.1.2）转化为求解一系列的无约束问题。
其中是第次迭代中采用的lagrange乘子，并且有。
定理10.3.1 设是无约束问题（10.3.2）的最优解，则也是问题。
的最优解．记．
算法10-4（等式约束下的广义乘子法）
step1 选取初始数据．给定初始点，初始乘子，初始罚因子，放大系数，允许误差，参数，令．
step2 求解无约束问题．以为初始点，求解无约束问题（10.3.2），设其最优解为．
step3 检查是否满足终止准则．若，则迭代终止，为等式约束问题（10.1.2）的近似最优解；否则，转step4．
step4 判断收敛快慢．若，则令，转step5；否则，令，转step5．
step5 进行乘子迭代．令，返回step2．
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