10 函数与方程

10 函数与方程。

一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)

1．(2010·福建厦门模拟)如果函数y＝x2＋mx＋(m＋3)有两个不同的零点，则m的取值范围是___

解析方程x2＋mx＋(m＋3)＝0有两个不同的根？δ＝m2－4(m＋3)>0，∴m>6或m<－2.

答案 (－2)∪(6，＋∞

2．(2010·金华一模)如果函数f(x)＝x2＋mx＋m＋2的一个零点是0，则另一个零点。

是。解析依题意知：m＝－2.∴f(x)＝x2－2x，方程x2－2x＝0的另一个根为2，即另一个零点是2.

答案 23．(2009·江苏盐城模拟)用二分法求方程x3－2x－1＝0的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为___

解析令f(x)＝x3－2x－1，则f(1)＝－2<0，f(2)＝3>0，f()＝0，由f()f(2)<0知根所在区间为(，2)．

答案 (，2)(说明：写成闭区间也对)

4．(2010·江苏兴化模拟)根据**中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为___x

exx＋2解析令f(x)＝ex－x－2，由表知f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.39－4>0，方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为(1,2)．

答案 (1,2)

5．(2009·江苏扬州模拟)已知函数f(x)＝3x＋x－5的零点x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈n*，则a＋b

解析 ∵b－a＝1，a，b∈n*，f(1)＝4－5＝－1<0，f(2)＝6>0，∴f(1)f(2)<0，∴a＋b＝3.

答案 36．(2009·山东，14)若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是。

解析设函数y＝ax(a>0，且a≠1)和函数y＝x＋a，则函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)

有两个零点，就是函数y＝ax(a>0，且a≠1)与函数y＝x＋a有两个交点，由图1可知，当01时，因为函数y＝ax(a>1)与y轴交于点(0,1)，而直线y＝x＋a所过的点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点，所以实数a的取值范围是a>1.

答案 a>1

7．(2010·苏州模拟)偶函数f(x)在区间[0，a](a>0)上是单调函数，且f(0)·f(a)<0，则方程f(x)＝0在区间[－a，a]内根的个数是___

解析由f(0)·f(a)<0，且f(x)在[0，a](a>0)上单调知f(x)＝0在[0，a]上有一根，又函数f(x)为偶函数，f(x)＝0在[－a,0]上也有一根．

答案 28．(2010·浙江温州一模)关于x的实系数方程x2－ax＋2b＝0的一根在区间[0,1]上，另一根在区间[1,2]上，则2a＋3b的最大值为___

解析令f(x)＝x2－ax＋2b，据题意知函数在[0,1]，[1,2]内各存在一零点，结合二次函数图象可知满足条件？，在直角坐标系中作出满足不等式的点(a，b)所在的可行域，问题转化为确定线性目标函数：

z＝2a＋3b的最优解，结合图形可知当a＝3，b＝1时，目标函数取得最大值9.

答案 99．(2009·江苏启东中学月考)若关于x的方程3tx2＋(3－7t)x＋4＝0的两实根α，β满足。

0<α<1<β<2，则实数t的取值范围是。

解析依题意，函数f(x)＝3tx2＋(3－7t)x＋4的两个零点α，β满足0<α<1<β<2，且函数f(x)过点(0,4)，则必有，即，解得答案二、解答题(本大题共3小题，共46分)

10.(14分)(2010·江苏镇江调研)已知二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在。

区间[－1,1]内至少存在一个实数c，使f(c)>0，求实数p的取值范围．

解二次函数f(x)在区间[－1,1]内至少存在一个实数c，使f(c)>0的否定是对于。

区间[－1,1]内的任意一个x都有f(x)≤0，，即。

整理得，解得p≥或p≤－3.

二次函数在区间[－1,1]内至少存在一个实数c，使f(c)>0的实数p的取值范围是。

11．(16分)(2010·扬州模拟)x1与x2分别是实系数方程ax2＋bx＋c＝0和－ax2＋bx＋c＝0的一个根，且x1≠x2，x1≠0，x2≠0.求证：方程x2＋bx＋c＝0有一个根介于x1和x2之间．

证明由于x1与x2分别是方程ax2＋bx＋c＝0和－ax2＋bx＋c＝0的根，所以有。

设f(x)＝x2＋bx＋c，则f(x1)＝x＋bx1＋c＝－x，f(x2)＝x＋bx2＋c＝x.

于是f(x1)f(x2)＝－a2xx，由于x1≠x2，x1≠0，x2≠0，所以f(x1)f(x2)<0，因此方程x2＋bx＋c＝0有一个根介于x1和x2之间．

12．(16分)(2009·江苏江阴模拟)已知二次函数f(x)＝x2－16x＋q＋3.

1)若函数在区间[－1,1]上存在零点，求实数q的取值范围；

2)问是否存在常数t(t≥0)，当x∈[t,10]时，f(x)的值域为区间d，且区间d的长度为。

12－t.(视区间[a，b]的长度为b－a)

解 (1)∵函数f(x)＝x2－16x＋q＋3的对称轴是x＝8，∴f(x)在区间[－1,1]上是减函数．

函数在区间[－1,1]上存在零点，则必有，即，－20≤q≤12.

2)∵0≤t<10，f(x)在区间[0,8]上是减函数，在区间[8,10]上是增函数，且对称轴是x＝8.

当0≤t≤6时，在区间[t,10]上，f(t)最大，f(8)最小，f(t)－f(8)＝12－t，即t2－15t＋52＝0，解得t＝，∴t＝；

当6③当8∴f(10)－f(t)＝12－t，即t2－17t＋72＝0，解得t＝8或t＝9，∴t＝9.

综上可知，存在常数t＝，8,9满足条件．

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