第14课时幂函数、函数与方程。
教学目标】理解幂函数的定义，掌握幂函数的基本性质（定义域、单调性、奇偶性、定点）及函数图象的形状，并能识别幂函数的图象；理解函数的零点与方程的跟之间的关系，掌握零点存在定理，能够利用零点存在定理判断零点所在的大致区间，初步了解二分法的应用，并学会利用函数的交点解决函数零点个数问题。
教学重难点】
幂函数基本性质的应用以及函数的零点存在定理的应用。
考点分析】从近几年的高考题来看，幂函数的基本性质与图象以及零点存在定理、函数方程思想一直都是高考中的重点，其中利用零点存在定理判断函数零点所存在的大致区间一般是以选择题的形式出现，另外幂函数的基本性质的应用一般是以选择题和填空题的形式出现，另外利用函数方程思想处理函数零点问题一般也是高考中的热点和难点。
课前热身】1.（东北三省名校2012届高三9月月考）函数的零点个数为（ ）
2.（云南省建水一中2012届高三9月月考）在下列区间中，函数的零点所在的区间是 （
3.（甘肃省兰州一中2011-2012学年度高三9月月考）若方程有三个相异实根，则实数的取值范围是。
4.（天津市天津一中2012届高三4月月考）函数的一个零点是，那么函数的零点是。
5.（云南省宣威市一中2012届高三3月月考）用二分法研究函数的零点时，第一次经计算，，可得其中一个零点第二次应计算以上横线上应填的内容是。
6.（辽宁省抚顺高中2012届高三第一次月考）幂函数的图象过点，则它的单调增区。
间是。7.（安徽省蚌埠二中2010届高三8月月考）幂函数为偶函数，且。
则实数。8.（云南省宣威市一中2012届高三9月月考）若且，函数与的图象有两个交点，则的取值范围是。
答案】1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
知识点梳理】
第一部分：幂函数。
1.幂函数的定义：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数。
2.幂函数的图象与性质。
在同一平面直角坐标系中作出函数，，，的图象。
从图象观察幂函数的性质如下：
2）规律总结。
所有幂函数在上都有定义。
当时，图象都过点和，且在第一象限为增函数；
当时，曲线上凸，当时，曲线下凹；
当时，幂函数图象过点，且在第一象限内为减函数；
当时，图象为过点和的直线；
当时，表示过点且平行于轴的直线（除去点）.
第二部分：函数的零点。
1.函数零点的定义：对于函数，使的实数叫做函数的零点。
2.等价关系：函数的零点、方程的实数解以及函数图象与轴的公共点有如下的等价关系：
函数有零点方程有实数根函数的图象与轴有公共点。
3.函数零点存在定理：
1）若函数在闭区间上的图象是连续曲线，并且在闭区间的端点的函数值符号相反，即，则在上至少有一个零点，即方程在上至少有一个实数解；
2）函数在区间上具有单调性，图象是连续不断的一条曲线，并且有。
那么函数在区间内有唯一零点，即存在唯一，使得，这个也就是方程的根。
4.函数零点的求法：①图象法；②定理法；③代数法。
第三部分：用二分法求方程的近似解。
1.定义：对于区间上连续不断且满足的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
2.用二分法求函数零点近似值的步骤：
1）确定区间，使，给定精确度；
2）求区间的中点，并计算的值；
3）计算的值。
若，则就是函数的零点；
若，则零点；
若，则零点。
4）判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或），否则重复步骤（2）~（4）.
典型例题与变式】
题型一：幂函数的概念与基本性质。
例1】（安徽省淮南二中2012届高三第一次月考）当时，幂函数为减函数，则实数。
或 解析】 函数是幂函数，则即，解得或，当时，幂函数为，此函数是常值函数，没有单调性；当时，幂函数为，在区间是减函数。
练习】（河北省三河一中2011-2012学年高三上学期第一次月考）幂函数在上为增函数，则。
解析】 函数为幂函数，则，即，解得或，当时，幂函数为，该函数在区间是减函数；当时，幂函数为，该函数在区间上是增函数。
例2】个幂函数其中定义域为的是 （
只有只有只有只有④⑤
解析】 函数的定义域为，函数的定义域为，函数中的自变量满足，解得，故该函数的定义域为，函数的定义域为，函数中的自变量满足，故函数的定义域为。
练习】（2023年高考山东卷理）设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有值为 （
解析】 当时，在处无定义，故排除、；当时，的定义域为，又排除，故选。
例3】下面个图象都是幂函数的图象，函数的图象是。
解析】 定义域为，排除、，又函数为偶函数，排除，故选。
练习】如图1所示，、、为幂函数在第一象限的图象，则解析式中的指数依次可以取。
解析】 的图象在第一象限内单调递减，则曲线对应的幂函数为，的图象在第一象限内单调递增且呈现下凹状，则对应的幂函数为，的图象在第一象限内图象呈上凸状，则曲线对应的幂函数为。
点评】成为幂函数的充分条件是系数为，此外对于幂函数的基本性质（如定义域、单调。
性、奇偶性、图象形状）的处理一般是根据幂函数指数的结构进行辨别，尤其在判断幂函数。
的定义域与奇偶性时，一般是将分数指数幂化为根式，负分数指数幂化为相应正分数指数幂。
的倒数，从而根据相关定义进行判断。
例4】（吉林省汪清县第六中学2012届高三第一次月考）三个数，，之间的大小关系是。
解析】 ，即，函数和在区间上均为增函数，故，即。
练习】（甘肃省靖远一中与中恒学校2012届高三联考）设，，，则。
解析】 ，且函数与。
在区间上均为增函数，则，则，故选。
例5】（云南省玉溪一中2012届高三9月月考）设，，，则、
之间的大小关系是。
解析】 ，函数在上是单调递减函数，，即，函数在上是单调递增函数，，即，，故选。
练习】（2023年高考安徽卷文）设，，，则、、的大小关系是 （
解析】 函数在区间上是增函数，所以，函数在区间上是减函数，所以。
点评】比较大小的常用方法是利用函数单调性，常用的有指数函数、对数函数以及幂函数的单调性，在判别指数式结构的大小时，一般是利用指数函数或相应幂函数的单调性进行比较，当结构不相同时，有时需要结构中间值与建立大小关系进而确定各数的大小关系。
题型二：函数的零点。
例6】（2023年广东省湛江市普通高考测试二）方程的一个根所在的区间是。
解析】 设函数，则，， 故方程的一个根所在的区间是，故选。
No14幂函数
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