第1讲函数及其表示。
2024年高考会这样考】
1．主要考查函数的定义域、值域、解析式的求法．
2．考查分段函数的简单应用．
3．由于函数的基础性强，渗透面广，所以会与其他知识结合考查．
复习指导】正确理解函数的概念是学好函数的关键，函数的概念比较抽象，应通过适量练习弥补理解的缺陷，纠正理解上的错误．本讲复习还应掌握：(1)求函数的定义域的方法；(2)求函数解析式的基本方法；(3)分段函数及其应用．
基础梳理。1．函数的基本概念。
1)函数的定义：设a、b是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合a中的任意一个数x，在集合b中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f：a→b为从集合a到集合b的一个函数，记作：
y＝f(x)，x∈a.
2)函数的定义域、值域。
在函数y＝f(x)，x∈a中，x叫自变量，x的取值范围a叫做定义域，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合叫值域．值域是集合b的子集．
3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等；这是判断两函数相等的依据．
2．函数的三种表示方法。
表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法．
3．映射的概念。
一般地，设a、b是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合a中的任意一个元素x，在集合b中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：a→b为从集合a到集合b的一个映射．
一个方法。求复合函数y＝f(t)，t＝q(x)的定义域的方法：
若y＝f(t)的定义域为(a，b)，则解不等式得a＜q(x)＜b即可求出y＝f(q(x))的定义域；②若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)的值域即为f(t)的定义域．
两个防范。1)解决函数问题，必须优先考虑函数的定义域．
2)用换元法解题时，应注意换元前后的等价性．
三个要素。函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．值域是由函数的定义域和对应关系所确定的．两个函数的定义域和对应关系完全一致时，则认为两个函数相等．函数是特殊的映射，映射f：
a→b的三要素是两个集合a、b和对应关系f.
双基自测。1．(人教a版教材习题改编)函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( )
a．(0b．[0，＋∞
c．(1d．[1，＋∞
解析 ∵3x＋1＞1，f(x)＝log2(3x＋1)＞log21＝0.
答案 a2．(2011·江西)若f(x)＝，则f(x)的定义域为( )
a. b.
c. d．(0，＋∞
解析由log (2x＋1)＞0，即0＜2x＋1＜1，解得－＜x＜0.
答案 a3．下列各对函数中，表示同一函数的是( )
a．f(x)＝lg x2，g(x)＝2lg x
b．f(x)＝lg，g(x)＝lg(x＋1)－lg(x－1)
c．f(u)＝，g(v)＝
d．f(x)＝(2，g(x)＝
答案 c4．(2010·陕西)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为( )
a．y＝ b．y＝
c．y＝ d．y＝
解析根据规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，即余数分别为时可增选一名代表．因此利用取整函数可表示为y＝.故选b.
答案 b5．函数y＝f(x)的图象如图所示．那么，f(x)的定义域是___值域是___其中只与x的一个值对应的y值的范围是___
解析任作直线x＝a，当a不在函数y＝f(x)定义域内时，直线x＝a与函数y＝f(x)图象没有交点；当a在函数y＝f(x)定义域内时，直线x＝a与函数y＝f(x)的图象有且只有一个交点．
任作直线y＝b，当直线y＝b与函数y＝f(x)的图象有交点，则b在函数y＝f(x)的值域内；当直线y＝b与函数y＝f(x)的图象没有交点，则b不在函数y＝f(x)的值域内．
答案 [－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5]
考向一求函数的定义域。
例1】求下列函数的定义域：
1)f(x)＝；
2)f(x)＝.
审题视点] 理解各代数式有意义的前提，列不等式解得．
解 (1)要使函数f(x)有意义，必须且只须。
解不等式组得x≥3，因此函数f(x)的定义域为[3，＋∞
2)要使函数有意义，必须且只须。
即解得：－1因此f(x)的定义域为(－1,1)．
求函数定义域的主要依据是。
1)分式的分母不能为零；(2)偶次方根的被开方式其值非负；(3)对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.
训练1】 (2012·天津耀华中学月考)(1)已知f(x)的定义域为，求函数y＝f的定义域；
2)已知函数f(3－2x)的定义域为[－1,2]，求f(x)的定义域．
解 (1)令x2－x－＝t，知f(t)的定义域为，－≤x2－x－≤，整理得。
所求函数的定义域为∪.
2)用换元思想，令3－2x＝t，f(t)的定义域即为f(x)的定义域，t＝3－2x(x∈[－1,2])，1≤t≤5，故f(x)的定义域为[－1,5]．
考向二求函数的解析式。
例2】(1)已知f＝lg x，求f(x)；
2)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求函数f(x)的解析式．
审题视点] (1)用代换法求解；(2)构造方程组求解．
解 (1)令t＝＋1，则x＝，f(t)＝lg，即f(x)＝lg.
2)x∈(－1,1)时，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)．①
以－x代x得，2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)．②
由①②消去f(－x)得。
f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，x∈(－1,1)．
求函数解析式的方法主要有：(1)代入法；(2)换元法；(3)待定系数法；(4)解函数方程等．
训练2】 (1)已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，试求f(x)的表达式．
2)已知f(x)＋2f()＝2x＋1，求f(x)．
解 (1)由题意可设f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，则。
a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1
ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1
解得a＝，b＝.
因此f(x)＝x2＋x.
2)由已知得消去f，得f(x)＝.
考向三分段函数。
例3】(2011·辽宁)设函数f(x)＝
则满足f(x)≤2的x的取值范围是( )
a．[－1,2] b．[0,2] c．[1，＋∞d．[0，＋∞
审题视点] 对于分段函数应分段求解，最后再求其并集．
解析 f(x)≤2或0≤x≤1或x＞1，故选d.
答案 d分段函数是一类重要的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题，如本例中，需分x≤1和x＞1时分别解得x的范围，再求其并集．
训练3】 (2011·江苏)已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为___
解析分类讨论：
1)当a＞0时，1－a＜1,1＋a＞1.
这时f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a；
f(1＋a)＝－1＋a)－2a＝－1－3a.
由f(1－a)＝f(1＋a)，得2－a＝－1－3a，解得a＝－，不符合题意，舍去．
2)当a＜0时，1－a＞1,1＋a＜1，这时f(1－a)＝－1－a)－2a＝－1－a；
f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a，由f(1－a)＝f(1＋a)，得－1－a＝2＋3a，解得a＝－.
综合(1)，(2)知a的值为－.
答案 －阅卷报告1——忽视函数的定义域。
问题诊断】 函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．如果是复合函数，应该根据复合函数单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，根据同增异减的法则求解函数的单调区间．由于思维定势的原因，考生容易忽视定义域，导致错误．
防范措施】 研究函数的任何问题时，把求函数的定义域放在首位，即遵循“定义域优先”的原则．
示例】 求函数y＝log (x2－3x)的单调区间．
错因忽视函数的定义域，把函数y＝logt的定义域误认为r导致出错．
初三14讲函数专题
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