1 4函数连续

第一章函数、极限、连续。

第四节函数的连续性。

有关知识：1）连续与间断的概念及间断点分类．

2）闭区间上连续函数性质及应用（中间值存在性证明及方程根存在性证明）．

3）在处连续在处既左连续又右连续．

例1：设在内有定义，且函数在内都是单增函数，证明在内连续．

分析：欲证在处连续，需证左，右都连续。

证明：对，由题设知当时，有，

所以令，由夹逼定理得，即在处右连续。

类似地，可证在处左连续，于是得结论．

例２：设在上连续，且对，存在，使得，证明：至少存在一点，使得．

分析：初一看无处下手，此时可试一试反证法。

证明：若对，，则在上恒正或恒负，不妨设，则，使得

对此，存在，使得

从而得出矛盾．故结论成立．

例３设是定义在一个圆周上的连续函数，证明存在一条直径，使得在直经的两端取相同值．

分析：首先要将问题用数学语言表达，设圆周的圆心为，取圆周上一点，为圆周上任一点，记，则该问题用数学语言表达为：

已知在上连续，且，求证存在，使得．

此问题的证明不困难：

令，则，从而由连续函数的性质知，使得。

即可得结论．

或令，则，从而由连续函数的性质知，使得。

即可得结论．

或可用反证法证明，请同学们完成。

练习题。1．设为连续函数，则．

答案：０，．求的间断点，并确定其类型．

．设，且已知为无穷间断点，为可去间断点，则．

答案：ｅ)．设在内至只有第一类间断点，且对，有。

证明：在内连续．

任取，由题设有，令，可得，令，可得；

又，令，可得。

所以有。．设在内连续，且，的最小值，求证至少在两个不同的点处取得它的最小值．

易见的最小值为，故只需证存在，使得）

．设在内连续，且，求证存在一点，使得．

用反证法证明）

第一章函数极限连续。第四节函数连续性。有关知识 1 连续与间断的概念及间断点分类 2 闭区间上连续函数性质及应用中间值存在性证明及方程根存在性证明 3 在处连续在处既左连续又右连续例1 设在内有定义，且函数在内都是单增函数，证明在内连续分析欲证在处连续，需证左，右都连续。证明对，由题设...

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