(一) 教学目的:
掌握连续函数的局部性质和闭区间上连续函数的整体性质.
二) 教学内容:
连续函数的局部保号性,局部有界性,四则运算;闭区间上连续函数的最大最小值定理,有界性定理,介值性定理,反函数的连续性,一致连续性.
基本要求:1)掌握函数局部性质概念,可去间断点,跳跃间断点,第二类间断点;了解闭区间上连续函数的性质.
2) 理解一致连续于逐点连续的本质区别.
三)教学建议:
1) 函数连续性概念是本节的重点.要求学生掌握函数在一点和在区间上连续的定义,间断点的分类,了解连续函数的整体性质.对一致连续性作出几何上的解释.
2)本节的难点是连续函数的整体性质,尤其是一致连续性和非一致连续性的特征.
难点:连续函数的保号性;一致连续性。
连续函数的局部性质。
根据函数的在点连续性,即可推断出函数在点的某邻域内的性态。
定理4.2(局部连续性)若函数在点连续,则在点的某邻域内有界。
定理4.3(局部保号性)若函数在点连续,且,则对任意存在某邻域时,
定理4.4(四则运算性质)若函数则在区间i上有定义,且都在连续,则()在点连续。
例因连续,可推出多项式函数。
和有理函数为多项式)在定义域的每一点连续。同样由上的连续性,可推出与在定义域的每一点连续。
定理4.5(复合函数的连续性)若函数在点连续,在点连续,,则复合函数在点连续。
证明由于在连续,对任给的,存在,使时有。
又由及在连续,故对上述,存在,使得当时,有。联系(1)得: 对任给的,存在,当时有。
这就证明了在点连续。
注:根据连续性的定义,上述定理的结论可表示为。
例1 求。解可看作函数与的复合。由(2)式,可得
注:若复合函数的内函数当时极限为,而或在无定义(为的可去间断点),又外函数在处连续,则我们仍可用上述定理来求复合函数的极限,即有。
读者还可证明(3)式对于或等类型的极限也是成立的。
例2 求极限:(1);(2).
解 (1)
闭区间上连续函数的基本性质。
前面我们研究了函数的局部性质,下面通过局部性质研究函数在闭区间上的整体性质。
定义1 设f为定义在数集d上的函数,若存在,使得对一切有,则称f在d上有最大(最小值)值,并称为f在d上的最大(最小值)值。
例如在上有最大值1,最小值0.但一般而言f在定义域d上不一定有最大值或最小值(即使f在d上有界)。如在上既无最大值又无最小值,又如。
在闭区间上也无最大、最小值。
定理4.6 (最大最小值定理) 若函数在闭区间上连续,则在闭区间上有最大值与最小值。
该定理及以后的定理4.7 和定理4.9将在第七章§2给出证明。
推论:(有界性)若函数在闭区间上连续,则在闭区间上有界。
定理4.7(介值性定理) 若函数在闭区间上连续,且,若为介于之间的任何实数(或),则在开区间内至少存在一点,使得。
推论(根的存在定理)若函数在闭区间上连续,且异号,则至少存在一点使得。即在内至少有一个实根。
应用介值性定理,还容易推得连续函数的下述性质:若在区间[a,b]上连续且不是常量函数,则值域也是一个区间;特别若为区间[a,b],在[a,b]上的最大值为,最小值为,则;又若为[a,b]上的增(减)连续函数且不为常数,则。
例3 证明:若为正整数,则存在唯一正数,使得。
证明先证存在性。由于当时有,故存在正数,使得。因在上连续,并有,故有介值性定理,至少存在一点使得。
再证唯一性。设正数使得。
由于第二个括号内的数为正所以只能,即。
例4 设在[a,b]连续,满足。
证明:存在,使得6)
证条件(5)意味着:对任何有,特别有。
以及 .若或,则取,从而(6)式成立。现设与。。令。
则,. 有根的存在性定理,存在,使得即。
三反函数的连续性。
定理4.8(反函数的连续性)若函数在闭区间严格递增(递减)且。
连续,则其反函数在相应的定义域()上递增(递。
减)且连续。
证明 (只证明f(x)严格递增情况)由闭区间上连续函数的介值性,反函数存在,而且其定义域为。 设,且
则,对任给的可在的两。
侧各取异于的两点(),使它们与的距离小于(参见右图).
设,由函数的严。
格递增性,必分别落在的两侧,即。
当 .令,则当时,对应的的值必落在之间,从而。
应用单侧极限的定义,同样可证在区间端点也是连续的。
例5 由于在区间上严格单调且连续,故反函数在区间[-1,1]上连续。
同理,由反函数连续性定理可得其他反三角函数在其定义域内是连续的。
例6由于(为正整数)在严格上单调且连续,所以它的反函数在上连续。又若把(为正整数)看作由与的复合,。综上可知,(q为非零整数)其定义域内是连续的。
例7 证明:有理幂函数在其定义区间上连续。
证明:设有理数,这里为整数。因为与均在其定义区间上连续,所以复合函数也是其定义区间上的连续函数。
四一致连续性。
前面介绍的函数在某区间内的连续性,是指它在区间的每一点都连续。这只反映函数在区间内每一点附近的局部性质,就是说连续定义中的不仅与有关,而且与有关。下面介绍的一致连续性,则是函数在区间上的整体性质,其定义中的只与有关,而与无关。
定义2(一致连续性)设函数在区间i上有定义,若只要,,都有 ,则称在区间i上一致连续。
这里要特别注意逐点连续与一致连续的区别。直观的说在区间i一致连续意味着:不论两点在i中处于什么位置只要它们的距离小于,就可使。
显然i必然在i上每一点连续,反之,结论不一定成立(参见例9)。
按照一致连续的定义,在区间i不一致连续意味着:对于某个对任何的(无论多么小),总存在两点尽管,但却有。
例8 证明在内一致连续。
证明 对,取,不管是中的怎样两点,只要。
就有: 所以在内一致连续。
例9证明在内一致连续,但在内不一致连续。
证明在内一致连续:
对,取,不管。
是中的怎样两点,只要。
就有: 所以在内一致连续。
但在内不一致连续。
取, 对任意的,都存在两点, 尽管。
但 所以, 在内不一致连续。
在区间i上的一致连续性是又一个整体性质,可推出在区间i上每点都连续的这一局部性质(只要在一致连续的定义中把看作定点和动点);但区间上i上每点连续并不能保证在区间i上一致连续,两者在概念上有本质的差别。因为。
函数在区间i上每点连续是指:
对于每一点及,当 ()时,有。
注意这里的不仅与有关,还与的位置有关,如果能做到只与有关即能找不到适合i上所有点的公共,则在i上每点连续,且一致连续;否则在i上每点连续,但不一致连续。
一般说来对i上无穷多个点,存在无穷多个,这无穷多个的下确界可能为零,也可能大于零。如果这无穷多个的下确界为零,则不存在适合i上所有点的公共,这种情况在i上连续,但不一致连续;如果这无穷多个的下确界大于零,则必存在对i上每一点都适用的公共,比如我们可取取,则对i上任意两点,只要时,便有 .这种情况,在i上不仅逐点连续,而且是一致连续。
定理4.9 (一致连续性)若函数在闭区间上连续,则在上一致连续。
例10 设区间的右端点为,区间的左端点也为(可为有限或无限区间)。试证明:若分别在上一致连续,则在区间上也一致连续。
证明:任给,由在上的一致连续性,分别存在正数和使得对任何,只要,就有。
又对任何,只要也有上面(7)式成立。
点作为右端点,在点为左连续,作为左端点,在点为右连续,所以在点为连续。故对上述,存在,当时有。
令,对任何的,,分别考虑下列两种情形:
)若或则(7)式成立;
)分别属于和,不妨设和,则,故有(8)式得。 同理得。 从而也有(7)式成立。这便证明了在上一致连续。
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