安宜高级中学高三数学期末复习讲义（函数的图像与性质）
班级姓名学号。
诊断练习】1．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＋b
2．设f(x)＝lg(＋a)是奇函数，则使f(x)＜0的x的取值范围是。
3．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)＞0在。
－1，3]上的解集为。
4.已知f(x)＝，则下列函数的图象正确的为___填序号)
范例导析】例1、讨论函数f(x)＝(a>0)在x∈(－1,1)上的单调性。
例2、已知f(x)＝是奇函数．
1)求a，b的值；
2)求f(x)的单调区间，并加以证明；
3)求f(x)(x>0)的最值．
例3、设f(x)是定义域为r的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x.
1)判定f(x)的奇偶性；
2)试求出函数f(x)在区间[－1,2]上的表达式．
巩固练习】1．下列函数：①y＝x3；②y＝|x|＋1；③y＝－x2＋1；④y＝2－|x|，既是偶函数又在(0，＋∞单调递增的函数序号是___
2．设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为。
3. 已知函数f(x)为r上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)．若f(a)＝－2，则实数a
4. 已知定义在r上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则f(－25)，f(11)，f(80)的大小关系是___
5． (1)定义在r上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－x＋2)；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…f(2 015)等于___
6．已知函数f(x)是定义在r上的偶函数，且对任意的x∈r，都有f(x＋2)＝f(x)．当0≤x≤1时，f(x)＝x2.若直线y＝x＋a与函数y＝f(x)的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是。
7．已知函数若存在，当时，，则的取值范围是。
8．已知定义在r上的偶函数满足：f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，且当x∈[0,2]时，y＝f(x)单调递减，给出以下四个命题：
f(2)＝0；②x＝－4为函数y＝f(x)图象的一条对称轴；③函数y＝f(x)在[8,10]上单调递增；④若方程f(x)＝m在[－6，－2]上的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－8.
以上命题中所有真命题的序号为___
二、解答题。
9．已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈r)，且f(4)＝0.
1)求实数m的值；
2)作出函数f(x)的图象；
3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；
4)若方程f(x)＝a只有一个实数根，求a的取值范围。
10．已知函数，
ⅰ)若求的值域；
ⅱ)若存在实数，当恒成立，求实数的取值范围。
安宜高级中学高三数学期末复习讲义（函数的图像与性质）答案。
诊断练习】1．由函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，得即a＝，所以a＋b＝
的图象如图所示．
当x∈(－1,0)时，由xf(x)＞0，得x∈(－1,0)；
当x∈(0,1)时，由xf(x)＞0，得x∈；
当x∈(1,3)时，由xf(x)＞0，得x∈(1,3)．
解集为(－1,0)∪(1,3)，4.①②
范例导析】例1、解设－1＝
－10，x1x2＋1>0，(x－1)(x－1)>0.∵a>0，∴f(x1)－f(x2)>0，∴函数f(x)在(－1,1)上为减函数。
例2、解：(1)∵f(x)＋f(－x)＝0恒成立，即－＝0恒成立，则2(a＋b)x2＋2a＝0对任意的实数x恒成立．
a＝b＝0.
2)∵f(x)＝(x∈r)是奇函数，只需研究(0，＋∞上f(x)的单调区间即可．
任取x1，x2∈(0，＋∞且x1f(x1)－f(x2)＝－
x＋1>0，x＋1>0，x2－x1>0，而x1，x2∈[0,1]时，x1x2－1<0，当x1，x2∈[0,1]时，f(x1)－f(x2)<0，函数y＝f(x)是增函数；
当x1，x2∈[1，＋∞时，f(x1)－f(x2)>0，函数y＝f(x)是减函数．
又f(x)是奇函数，∴f(x)在[－1,0]上是增函数，在(－∞1]上是减函数．
又x∈[0,1]，u∈[－1,0]时，恒有f(x)≥f(u)，等号只在x＝u＝0时取到，故f(x)在[－1,1]上是增函数．
3)由(2)知函数f(x)在(0,1)上递增，在[1，＋∞上递减，则f(x)在x＝1处可取得最大值 .∴f(1)＝，函数的最大值为，无最小值．
例3、解 (1)∵f(1＋x)＝f(1－x)，f(－x)＝f(2＋x)．又f(x＋2)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
2)当x∈[0,1]时，－x∈[－1,0]，则f(x)＝f(－x)＝x；进而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，f(x)＝f(x－2)＝－x－2)＝－x＋2.
故f(x)＝ 巩固练习】
2．当x≥0时，令f(x)＝2x－4>0，所以x>2.又因为函数f(x)为偶函数，所以函数f(x)>0的解集为．将函数y＝f(x)的图象向右平移2个单位即得函数y＝f(x－2)的图象，故f(x－2)>0的解集为．
3．令x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－x(1－x)，又f(x)为奇函数，所以当x<0时有f(x)＝x(1－x)，当a≥0时，f(a)＝a(a＋1)＝－2，无解；当a<0时，f(a)＝a(1－a)＝－2，得a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2(舍去)，综上知a＝－1.
4．由题意，得f(x)在[－2,2]上递增，且由f(x－4)＝－f(x)得f(x)是以8为周期的周期函数，所以f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)，f(80)＝f(0)，所以f(－25)＜f(80)＜f(11)．
6．∵f(x＋2)＝f(x)，∴t＝2.又0≤x≤1时，f(x)＝x2，可画出函数y＝f(x)在一个周期内的图象，显然a＝0时，y＝x与y＝x2在[0,2]内恰有两个不同的公共点．当直线y＝x＋a与y＝x2(0≤x≤1)相切时也恰有两个不同公共点，由题意知x2＝x＋a，即x2－x－a＝0，δ＝1＋4a＝0，则a＝－，此时x＝.
综上可知a＝0或－.
8．令x＝－2，得f(2)＝f(－2)＋f(2)，即f(－2)＝0.又函数f(x)是偶函数，故f(2)＝0，①正确；根据f(2)＝0可得f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期是4，由于偶函数的图象关于y轴对称，故x＝－4也是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴，②正确；根据函数的周期性可知，函数f(x)在[8,10]上单调递减，③不正确；由于函数f(x)的图象关于直线x＝－4对称，故如果方程f(x)＝m在区间[－6，－2]上的两根为x1，x2，则＝－4，即x1＋x2＝－8，④正确．故真命题的序号为①②④
二、解答题。
9．解 (1)∵f(4)＝0，∴4|m－4|＝0，即m＝4. (2)f(x)＝x|x－4|＝f(x)的图象如图所示：
3)f(x)的减区间是[2,4].
4)从f(x)的图象可知，当a>4或a<0时，f(x)的图象与直线y＝a只有一个交点，方程f(x)＝a只有一个实数根，即a的取值范围是(－∞0)∪(4，＋∞
10．由题意得：
当时，此时的值域为：
当时，此时的值域为：
当时，此时的值域为：
2）由恒成立得：恒成立，令，因为抛物线的开口向上，所以，由恒成立知：
化简得： 令。
则原题可转化为：存在，使得即：当，，的对称轴：
1 即：时，解得：
当即：时，解得：
综上：的取值范围为：
法二：也可，化简得：有解。则。
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