函数的图像和性质

学案3 函数的图像和性质。

一．基础自测。

1．（2010山东4）设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则。

a）-3 （b）-1c）1d)3

解析：因为为定义在上的奇函数，所以f(0)=0,可求得b=-1,f(-1)=-f(1)=-2(2+2+b)=-3

答案：a2．(2010天津南开区调研)已知ab＝1，函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是( )

解析：∵ab＝1，.

答案：b3. 不等式 ab．(－1，)

cd．(，解析：设y=，y=x+a，在同一直角坐标系内作出y=的图象，再将函数y=x的图象沿y轴方向上、下平行移动，如右图所示，考查在x∈[-1,1]上，使不等式答案：d

4．(2010·山东烟台调研)已知函数y＝f(x)(x∈r)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈(－1,1]时， f(x)＝|x|，则y＝f(x)与y＝log7x的交点的个数为( )

a．4 b．5 c．6 d．7

解析：y＝f(x)与y＝log7x的交点即为图象的交点如图，由图象可知有6个交点．

答案：c5.(2010·陕西)已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a等于( )

abc．2d．9

解析：f(x)＝∵0<1，∴f(0)＝20＋1＝2.∵f(0)＝2≥1，∴ f(f(0))＝22＋2a＝4a，∴a＝2，故选c.

答案：c6．2010天津10）设函数，则的值域是。

a． b． c． d．

解析：本题主要考查函数分类函数值域的基本求法，属于难题。

依题意知，

答案：d7．已知f(x)是定义在r上的偶函数，并且f(x＋2)＝－当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(1.5

解析：∵f(x＋2)＝－f(x＋4)＝－f(x)∴t＝4，∴f(1.5)＝f(1. 5－4)＝

f(－2.5)＝f(2.5)＝2.5.

答案：2.5

8．(2010·重庆)已知函数f(x)满足：f(1)＝，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈r)，则。

f(2 010

解析：解法一：∵当x＝1，y＝0时，f(0)＝；当x＝1，y＝1时，f(2)＝－当x＝2，y＝1时， f(3)＝－当x＝2，y＝2时，f(4)＝－当x＝3，y＝2时，f(5)＝；当x＝3，y＝3时，f(6)＝；当x＝4，y＝3时，f(7)＝；当x＝4，y＝4时，f(8)＝－

f(x)是以6为周期的函数，∴f(2 010)＝f(0＋335×6)＝f(0)＝.

解法二：∵f(1)＝，4f(x)·f(y)＝f(x＋y)＋f (x－y)，构造符合题意的函数f (x)＝cos x，∴f(2 010)＝cos＝.

答案：二．考点与方法。

1.函数的三要素：定义域、值域、对应关系。

两个函数当且仅当它们的三要素完全相同是才表现同一个函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数。

2.函数的性质。

1）单调性。

如果对于定义域i内某个区间d上的任意两个自变量的值，，且<，都有《成立，则在d上是增函数（都有》成立，则在d上是增函数）。

2）奇偶性。

对于定义域内的任意x（定义域关于原点对称），都有＝－成立，则为奇函数（都有＝成立，则为偶函数）。

3）周期性。

周期函数的最小正周期t必须满足下列两个条件：

当x取定义域内的每一个值是，都有=;

t是不为零的最小正数。

一般地，若t为的周期，则nt(nz)也为的周期，则=.

4)最值。一般地，设函数y=的定义域为i,如果存在实数m满足：

对于任意的xi,都有m();

存在，使，那么称m是函数y=的最大值(最小值).

4.函数单调性的判定方法。

1)定义法：取值，作差，变形，定号，作答。

其中变形是关键，常用的方法有：通分、配方、因式分解。

2)导数法。

3)复合函数的单调性遵循”同增异减”的原则。

4.函数奇偶性的判定方法。

1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。

2)对于定义域内的任意一个x.

若都有＝,则为偶函数；

若都有＝－,则为奇函数；

若都有－=0,则为偶函数；

若都有+=0,则为奇函数。

4.函数的图象。

对于函数的图象要会作用，识图，用图。

作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图像变换有(1)平移变换。

2)伸缩变换，(3)对称变换。

三．典例展示。

例1．已知xy＜0，并且4x-9y=36．由此能否确定一个函数关系y=f(x)？如果能，求出其解析式、定义域和值域；如果不能，请说明理由．

思维启迪】 4x-9y=36在解析几何中表示双曲线的方程，仅此当然不能确定一个函数关系y=f(x)，但加上条件xy＜0呢？

解析】所以。

因此能确定一个函数关系y=f(x)．其定义域为(-∞3)∪(3，+∞且不难得到其值域为(-∞0)∪(0，＋∞

**提高】本例从某种程度上揭示了函数与解析几何中方程的内在联系．任何一个函数的解析式都可看作一个方程，在一定条件下，方程也可转化为表示函数的解析式．求函数解析式还有两类问题：

1)求常见函数的解析式．由于常见函数(一次函数，二次函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数及反三角函数)的解析式的结构形式是确定的，故可用待定系数法确定其解析式．这里不再举例．

2)从生产、生活中产生的函数关系的确定．这要把有关学科知识，生活经验与函数概念结合起来，举例也宜放在函数复习的以后部分．

变式训练：1. （2009宣武区）设函数则。

例2．（2010山东理数）函数y=2x -的图像大致是。

思维启迪】特殊值验证排除法。

解析】因为当x=2或4时，2x -=0，所以排除b、c；当x=-2时，2x -=故排除d，所以选a。答案：a

**提高：本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力。

变式训练：已知f(x+199)=4x＋4x+3(x∈r)，那么函数f(x)的最小值为___

分析：由f(x＋199)的解析式求f(x)的解析式运算量较大，但这里我们注意到，y=f(x ＋100)与y=f(x)，其图象仅是左右平移关系，它们取得。

求得f(x)的最小值即f(x＋199)的最小值是2．

说明：函数图象与函数性质本身在学习中也是密切联系的，是“互相利用”关系，函数图象在判断函数奇偶性、单调性、周期性及求最值等方面都有重要用途．

例3．定义在r上的单调函数f(x)满足f(3)=log3且对任意x，y∈r都有f(x+y)=f(x)+f(y)．

1)求证f(x)为奇函数；

2)若f(k·3)+f(3-9-2)＜0对任意x∈r恒成立，求实数k的取值范围．

思维启迪】欲证f(x)为奇函数即要证对任意x都有f(-x)=-f(x)成立．在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求f(0)的值．令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函数得到证明．

1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈r

令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．

令y=-x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有。

0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x∈r成立，所以f(x)是奇函数．

2)解：f(3)=log3＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在r上是单调函数，所以f(x)在r上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．

f(k·3)＜-f(3-9-2)=f(-3+9+2)， k·3＜-3+9+2，3-(1+k)·3+2＞0对任意x∈r成立．

令t=3＞0，问题等价于t-(1+k)t+2＞0对任意t＞0恒成立．

r恒成立．思维启迪】问题(2)的上述解法是根据函数的性质．f(x)是奇函数且在x∈r上是增函数，把问题转化成二次函数f(t)=t-(1+k)t+2对于任意t＞0恒成立．对二次函数f(t)进行研究求解．本题还有更简捷的解法：

分离系数由k·3＜-3+9+2得。

上述解法是将k分离出来，然后用平均值定理求解，简捷、新颖．

变式训练：（2010崇文区）下列命题中：

若函数的定义域为r，则一定是偶函数；

若是定义域为r的奇函数，对于任意的r都有，则函数的图象关于直线对称；

已知，是函数定义域内的两个值，且，若，则是减函数；

若f (x)是定义在r上的奇函数，且f (x+2)也为奇函数，则f (x)是以4为周期的周期函数。

其中正确的命题序号是。

四．提炼升华。

1．图象变换法。

作图是学习和研究函数的基本功之一，变换法作图是应用基本函数的图象，通过平移、伸缩、对称、翻折等变换，作出相关函数的图象．应用变换法作图，要求我们熟记基本函数的图象及性质，准确把握基本函数的图象特征．

2．数形结合方法。

函数的图象可以形象地反映函数的性质．通过观察图形可以确定图象的变化趋势、对称性、分布情况等，数形结合，借助于图象与函数的对应关系研究应用函数的性质，其本质是函数图象的性质反映了函数关系；函数关系决定了函数图象的性质．

3．数形结合思想。

这是中学数学中的重要的数学思想方法之一．数形结合的应用大致分两类：一是以数解形，即借助数的精确性、深刻性来阐明形的某些属性；二是以形辅数，即借助形的几何直观性、形象性来揭示数之间的某种关系，用形作为探求解题途径，获得问题结果的重要工具，而利用函数的图象可研究函数的性质、不等式的解及含参数的有关问题。

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