定理1.（有界性）若函数在闭区间[a,b]连续，则函数在闭区间[a,b]有界，即》0, [a,b],有||≤
在区间能取到最小值m与最大值m，即：使：与。
证明：根据定理3，数集有界。
设：sup用反证法：假使有由上确界的定义知：m不是数集的上确界，矛盾，于是，使。
定理3.(零点定理) 若函数在闭区间连续，且<0(即与异号)，则在开区间（a,b）内至少存在一点，使=0
证明：不妨设<0， >0.用反证法，假设[a,b]，有≠0，将闭区间二等分，分点为。
已知≠0，如果》0,则函数在闭区间的两个端点的函数值的符号相反；如果<0,则函数在闭区间[,b] 的两个端点的函数值的符号相反。于是两个闭区间与[,b]必有一个使函数在其两个端点的函数值的符号相反。将此闭区间表为，有<0，再将二等分，必有一个闭区间，函数在其两个端点的函数值的符号相反。
将此闭区间表为，有<0，用二分法无限进行下去，得到闭区间（），且。
1）[a,b
对每个闭区间，有<0，根据闭区间套定理（4.1定理1），存在唯一数属于所有的闭区间，且== 1）
而 [a,b]，且≠0，设》0.一方面，已知函数在连续，根据连续函数的保号性， >0,:|即 ，有》0;另一方面，由（1）式，当n充分大时，有，已知<0，即函数在中某点的函数值小于0，矛盾。
于是，≯0.同法可证≮0.所以闭区间内至少存在一点，使=0.
二、 一致连续性。
已知： 在连续，即： ，限定。
取。于是： ，
由此看出，对同一，的不同的点，使上式成立的的大小不同，换句话说，的大小不仅与给定的有关，同时也与点在中的位置有关。
区间有无限多个，相应地存在无限多个，那么这无限多个中是否存在一个公用的，（即最小的），使， ：呢？事实上，在区间上的连续函数中，有的存在公用的，有的不存在公用的。
（存在的，就是一致连续）
定义：设函数定义在区间上，若，， 则称函数在区间上一致连续（均匀连续）
比较与连续概念的异同。
在连续， ,
一致连续的，是任意的，与无关；连续中的是固定的，与有关。
一致连续是整体性质，是关于区间来谈的。
连续是局部性质，是针对区间中的一点来谈的。）
从定义可知： “一致连续连续”，但不能说“连续一致连续”。
非一致连续（在）定义。
例 定理4（一致连续性）：若在连续，则在一致连续。
证法：应用反证法与致密性定理。
证明：假设函数在[a,b]非一致连续，即， [a,b]：|有。
取=1，， a,b]：|1，有。
取=，，a,b]：|有。
取=，，a,b]：|有。
这样的闭区间[a,b]构造两个有界数列{}与{}
根据致密定理（4.1定理5）数列{}存在收敛的子数列{}，设= [a,b]
因为||<所以，也有=. 一方面，已知函数在连续，有||=0
即当充分大时，有||<
另一方面，,有||≥
矛盾，即函数在闭区间[a,b]一致连续。
定理指出：函数在闭区间上连续与一致连续等价。
证明：函数在内连续，函数在内一致连续的必要充分条件是与都存在。
3（3）.证明：函数在一致连续。
证明：将分为。
， 取。于是， ，
即：在一致连续。又在连续， 在连续，因此在一致连续。即：
取，那么， ，且时，有， 或，
于是， ，即：在一致连续。
8.证明：若函数在连续，且，则函数在一致连续。
证明：已知。
即。又在连续， 在连续。因此在一致连续。即。取。
于是： ，即在一致连续。
例：用一致连续定义证明：若函数在与都一致连续，则函数在一致连续。
证明：已知在一致连续，在一致连续。
即。取 ， 当， 或时，已有，若， ，则。
即。在上一致收敛。
取定自然数，使，即。
现将等分成个小区间：，，
故对， ，有，从而有。证毕。
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