函数的图像与性质

高考必备：二、函数的图像和性质。

要点强记。思想方法：

1、函数与方程的思想：若问题中含有解析式，应考虑使用函数的图像和性质解决问题，若不含解析式，可构造函数，再用函数的图象和性质解题。

2、形结合的思想：把数量关系的问题转化为图形的性质问题来研究，或者把图形问题转化为数量关系问题来处理，数形结合的思想在解选择、填空题具有得天独厚的优势。

3、等价转化的思想：等价转化要求转化前后互为充要条件。

4、分类讨论思想：当问题不能进行统一，则应分类研究。

常规方法。1、定义域：定义域分默认型（式子有意义）、实际型（由实际有意义定）、规定型（无条件规定）。

求函数表达式时务必写出定义域。对于复合函数，如：已知的表达式，求表达式，此时关于定义域就是的值域；已知的表达式，求的表达式，此时关于定义域就是使得的值域为的定义域的全体的取值。

2、值域：函数的最值问题是函数各种性质的综合反映，求函数的值域和最值的常用方法有常数分离法（一次分式法）、配方法（二次函数）、换元法（包括三角换元）、判别式法（二次分式函数）、单调法、，利用重要不等式、导数法、图象法，利用几何意义等。

3、解析式：求解析式的方法有换元法和配凑法两种，近几年分段函数是高考的热点。

4、函数的图像：有些函数虽然不能画出其正确的图像，但是我们可以通过对导函数的研究，画出原函数的图像走向，这样我们仍然可以求出函数的极值、最值等。

5、奇偶性：判断函数的奇偶性应从两方面考虑，即定义域和判别恒等式。奇偶性的应用主要是通过局部看整体。

奇函数若在x=0处有定义，则。

6、单调性：①求单调区间时，必须先挖定义域，常用的方法有：定义法、导数法、图象法、复合函数单调性质和利用重要不等式法。

②作为单调性的应用，主要有：比大小，求最值，求值域。③有了导数这一工具后，给求函数的单调性带来了极大的方便。

7、周期性：①判断函数的周期性应从两方面考虑，即定义域和判别恒等式；②周期性的应用是通过局部看整体。

8、对称性：有两种对称，关于点对称和关于直线对称。若求对称后的曲线（与原曲线不同）的方程，通常利用间接法**移法）。

若要证明曲线自身关于点或直线对称，通常是先设曲线上一点，再求出对称点，然后证明对称后的点也的在曲线上。

9、抽象函数的性质：①若则函数图像关于y轴对称；②若则函数图像关于原点对称；③若则函数图像关于对称；④若则函数图像关于点对称；⑤若则函数为周期函数。若则函数还是周期函数。

10、抽象函数解题策略：①利用函数的单调性，作等价转化，最后脱离函数符号；②利用函数的对称性，通过数形结合，使抽象函数具体化；③利用函数的周期性，以点推面，回归已知；④合理赋值，构造方程，解出抽象函数的表达式。

11、图像的变换：常见的变换有平移、放缩、对称，这些变换可以用间接法求之，要学会用向量法解决平移问题。另外还要掌握的图像与之间的关系。

特别警示。1、研究函数的性质，要注意先确定函数的定义域，如奇函数的必要条件是定义域关于原点对称。

2、函数的单调性是对某一个区间而言的。如函数f(x)在（-1，0）上是增函数，在（0，1）上是增函数，但在。

-1，0）∪（0，1）上却不一定是增函数。

3、在反函数的运算中，要注意与不是互为反函数；的反函数是。

是函数中自变量换为的结果。