考研数学一（函数、极限、连续）-试卷1
总分：74.00，做题时间：90分钟)
一、 选择题(总题数：11，分数：22.00)
1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）
解析：2.以下3个命题， ①若数列收敛于a，则其任意子数列必定收敛于a； ②若单调数列的某一子数列收敛于a，则该数列必定收敛于a； ③若数列与都收敛于a，则数列必定收敛于a． 正确的个数为 (
分数：2.00）
a.0b.1
c.2d.3√
解析：解析：对于命题①，由数列收敛的定义可知，若数列收敛于a，则对任意给定的ε＞0，存在自然数n，当n＞n时，恒有｜u n 一a｜＜ε可知当n i ＞n时，恒有｜u ni 一a｜＜ε因此数列也收敛于a，可知命题正确．对于命题②，不妨设数列为单调增加的，即x 1 ≤x 2 ≤…x n ≤…其中某一给定子数列收敛于a，则对任意给定的ε＞0，存在自然数n，当n i ＞n时，恒有｜x ni —a｜＜ε由于数列为单调增加的数列，对于任意的n>n，必定存在n i ≤n≤n i+1 ，有一ε ni一a≤xn一a≤xni+1一a＜ε，从而 ｜xn一a｜＜ε可知数列收敛于a．因此命题正确． 对于命题③，因[*]由极限的定义可知，对于任意给定的ε>0，必定存在自然数n1，n2：
当2n＞n1时，恒有 ｜x2n一a｜＜ε当2n+1＞n2时，恒有 ｜x2n+1一a｜＜ε取n=max，则当n＞n时，总有｜xn一a｜＜ε因此[*]可知命题正确．故答案选择d．
3.设f(x)是偶函数，φ(x)是奇函数，则下列函数(假设都有意义)中，是奇函数的是( )
分数：2.00）
c.φ(f(x))
d.φ(x))√
解析：解析：令g(x)=φx))，注意φ(x)是奇函数，有g(一x)=φ一x))=一φ(x))=一φ(φx))=一g(x)．
4.设f(x)=sin(cosx)，φx)=cos(sinx)，则在区间内 (
分数：2.00）
是增函数，φ(x)是减函数。
都是减函数√
是减函数，φ(x)是增函数。
都是增函数。
解析：解析：注意在内，sinx是增函数，cosx是减函数．任取x 1 ，x 2 ∈ 且x 1 2，有cosx1＞cosx2所以sin(cosx)>sin(cosx2)，即f(x)是减函数；由于sinx12，所以cos(sinx1)>cos(sinx2)，即φ(x)是减函数．
5.设则当n＞1时，f n (x)=
分数：2.00）
a. b.
c. √d.
解析：解析：
6.设则f(一x)等于 (
分数：2.00）
a. b.
c. d. √
解析：解析：
7.设f(x)=u(x)+v(x)，g(x)=u(x)一v(x)，并设都不存在，下列论断正确的是 (
分数：2.00）
a.若不存在，则必存在。
b.若不存在，则必不存在。
c.若存在，则*]必不存在√
d.若存在，则必存在。
解析：解析：令，当x→0时可排除a；令当x→0时可排除b；令当x→0时可排除d．
8.两个无穷小比较的结果是 (
分数：2.00）
a.同阶。b.高阶。
c.低阶。d.不确定√
解析：解析：如当x→0时，都是无穷小．但不存在，故α(x)和β(x)无法比较阶的高低．
9.函数f(x)=xsinx (
分数：2.00）
a.在(一∞，+内无界√
b.在(一∞，+内有界。
c.当x→∞时为无穷大。
d.当x→∞时极限存在。
解析：解析：对于任意给定的正数m，总存在着点故f(x)在(一∞，+内无界．c错，对于任意给定的正数m，无论x取多么大的正数，总有x n =｜2nπ｜＞x(只要 )，使f(x n )=x n sinx n =0
10.极限的充要条件是 (
分数：2.00）
a.α＞1b.α≠1√
c.α＞0d.与α无关。
解析：解析：令。
11.设当x→x 0 时，f(x)不是无穷大，则下述结论正确的是 (
分数：2.00）
a.设当x+x 0 时，g(x)是无穷小，则f(x)g(x)必是无穷小。
b.设当x→x 0 时，g(c)不是无穷小，则f(x)g(x)必不是无穷小。
c.设在x=x 0 的某邻域g(x)无界，则当x→x 0 时，f(x)g(x)必是无穷大。
d.设在x=x 0 的某邻域g(x)有界，则当x→x 0 时，f(x)g(x)必不是无穷大√
解析：解析：设当x→0时为无界变量，不是无穷大，令g(x)=x，当x→0时为无穷小，可排除a．设x→0时，令f(x)=x 2 , 可排除b，c．
二、 填空题(总题数：5，分数：10.00)
12.设f(x)是奇函数，且对一切x有f(x+2)=f(x)+f(2)，又x(1)=a，a为常数，n为整数，则f(n)= 1．
分数：2.00）
填空项1正确答案：正确答案：m）
解析：解析：令x=一1，则f(1)=f(-1)+f(2)，因f(x)是奇函数，得到f(2)=f(1)一f(-1)=2f(1)一2a．再令x=1，则f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=3a，现用数学归纳法证明f(n)=na．当n=1，2，3时，已知或者已证．假设n≤k时，有f(k)=ka．当n=k+1时，f(k+1)=f(k一1)+f(2)=(k一1)a+2a=(k+1)a，故对一切正整数n，有f(n)=na，令x=0，则f(2)=f(0)+f(2)，即f(0)=0=又f(x)是奇函数，故对一切负整数n有f(n)=一f(-n)=一(一m)=na．所以对一切整数n，均有f(n)=na．
13.对充分大的一切x，以下5个函数：100 x ，log 10 x 100 ，e 10x ， 最大的是 1．
分数：2.00）
填空项1正确答案：正确答案：[*
解析：解析：当x充分大时，有重要关系：e αx 》x β ln γ x，其中α，β0，故本题填 ．
分数：2.00）
填空项1正确答案：正确答案：0）
解析：解析：
15.极限。
分数：2.00）
填空项1正确答案：正确答案：2）
解析：解析：
16.设则α，β的值为 1．
分数：2.00）
填空项1正确答案：正确答案：[*
解析：解析：
三、 解答题(总题数：21，分数：42.00)
17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）
解析：18.设，求n，c的值．
分数：2.00）
正确答案：(正确答案：)
解析：19.已知，求a，b的值．
分数：2.00）
正确答案：(正确答案：)
解析：20.确定a，b，使得x一(a＋bcosx)sinx当x→0时为阶数尽可能高的无穷小．
分数：2.00）
正确答案：(正确答案：令y＝x一(a＋bcosx)sinx， y’＝1＋bsin 2 x一(a＋bcosx)cosx， y"＝bsin2x＋ sin2x＋(a＋bcosx)sinx＝asinx＋2bsin2x， y"""acosx＋4bcos2x， 显然y(0)＝0，y"(0)＝0， 所以令y"(0)＝y"""0)＝0得故当时，x一(a＋bcosx)sinx为阶数尽可能高的无穷小．)
解析：21.设，求a，b的值．
分数：2.00）
正确答案：(正确答案：ln(1＋x)－(ax＋bx 2 )＝x一 ＋o(x 2 )一(ax＋bx 2 ) 1－a)x一(b＋ )x 2 ＋o(x 2 )，由得x→0时， ，于是 ，故a＝1，b＝一2．)
解析：22.确定常数a，b，c，使得＝c.
分数：2.00）
正确答案：(正确答案：由得b＝一1； 由得a＝； 于是c＝.)
解析：23.设，其中f(x)连续，求。
分数：2.00）
正确答案：(正确答案：)解析：
分数：2.00）
正确答案：(正确答案：)解析：
分数：2.00）
正确答案：(正确答案：)解析：
分数：2.00）
正确答案：(正确答案：)
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